A kopula a valószínűségszámításban egy függvény, ami különböző valószínűségi változók peremeloszlásai és közös eloszlása között állít fel kapcsolatot. Segítségével szabadabban lehet modellezni a valószínűségi változók közötti kapcsolatot, mint korrelációval. Definíció A kopula egy többváltozós eloszlásfüggvény, melynek egydimenziós peremeloszlásai egyenletes eloszlásúak -ben. Ez a következőket jelenti: többváltozós eloszlásfüggvény, így: , n-növekvő, azaz minden téglán a C-térfogat nemnegatív, , ahol , egydimenziós peremeloszlásai egyenletesek a intervallumon: .
Az utolsó követelmény motivációja a következő: Egy rögzített számra az tetszőleges folytonos eloszlású valószínűségi változók esetén egyenletes eloszlású az intervallumon. Sklar tétele A továbbiakban a valós számok kiterjesztése.
Legyen -dimenziós eloszlásfüggvény, az egydimenziós peremeloszlásokkal. Ekkor van egy -dimenziós kopula, hogy minden esetén
Ha minden folytonos, akkor a kopula egyértelmű. Fréchet-Hoeffding-korlátok Minden -változós kopulára teljesülnek az
és az
korlátok.
A felső korlát szintén kopula, az alsó viszont csak esetén. Példák A legegyszerűbb kopula a függetlenségi kopula: . A kopula szerinti eloszlás valószínűségi változók függetlenségét jelzi. Jelben:
A felső Fréchet-Hoeffding-korlát is kopula: . Tökéletes pozitív összefüggést ír le.
Az alsó Fréchet-Hoeffding-korlát kétváltozós esetben kopula: . Két valószínűségi változó tökéletes negatív összefüggését írja le.
A normális vagy Gauß-kopula definiálható a normális eloszlás eloszlásfüggvényével, amit itt jelöl. A
kopula azt jelzi, hogy két standard normális eloszlású valószínűségi változó közös eloszlása, korrelációs együtthatóval. Ha a együtthatóval generálunk pontokat, akkor a szögfelező mentén fognak koncentrálódni.
A Gumbel-kopula definíciójához exponenciális függvényt és logaritmust használnak: , ahol paraméter. Ha eszerint generálunk pontokat, akkor az pont körül fognak koncentrálódni. Arkhimédészi kopula Az arkhimédészi kopulák a kopulák egy osztályát alkotják.
Legyen folytonos, monoton csökkenő függvény, ahol . Jelölje ennek pszeudoinverzét , azaz
és segítségével definiálják a
kétváltozós függvényt. akkor és csak akkor kopula, ha konvex. Ekkor a kopula generátora. nyilván szimmetrikus, azaz ha .
Gyakran használnak arkhimédészi kopulákat, mivel használatuk egyszerű. Néhány példa: Gumbel-kopula: Generátora az mfüggvény, ahol paraméter. Ezzel így a Gumbel-kopula ahogy fent. Clayton-kopula: Generátora a függvény, ahol . Ezzel így a kétváltozós Clayton-kopula:
Frank-kopula: Generátora a függvény, ahol .
Szélsőértékkopula Egy kopula szélsőértékkopula, ha egy többváltozós szélsőérték-eloszlás kopulája. Azaz van egy többváltozós szélsőérték-eloszlás, egydimenziós peremeloszlásokkal, úgy, hogy .
Egy kopula akkor és csak akkor szélsőértékkopula, ha és esetén .
Ha szélsőértékkopula, és egyváltozós szélsőérték-eloszlások, akkor is szélsőérték-eloszlás.
Alkalmazások Arra használják a kopulákat, hogy célzottan modellezzék az összefüggést különböző valószínűségi változók között, vagy következtessenek függetlenségükre. Így például hitelek kockázatosságát vizsgálják, hogy egyfajta hitel adósainak tömeges csődkockázatáról tegyenek kijelentéseket. Hasonlóan alkalmazzák a biztosításban is, a különféle káresetek együttes előfordulására, mint például árvíz és vihar okozta károkra. Források Joe, Harry: Dependence Modeling with Copulas (Monographs on Statistics and Applied Probability 134). CRC Press, 2015, Mai, J.-F., Scherer, M.: Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific, 2012, Nelsen, Roger B.: An Introduction to Copulas (Lecture Notes in Statistics). Springer Verlag, 2006, Sklar, A.: Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward in Rüschendorf, L., Schweizer, B. und Taylor, M. (eds) Distributions With Fixed Marginals & Related Topics (Lecture Notes - Monograph Series Number 28), 1997, Fischer, Rico: Modellierung von Abhängigkeiten mit Hilfe von Copulas: Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk, Logos Berlin, 2009, Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás