A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat, régies néven számtani vagy aritmetikai haladvány) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul. Egy legalább három számból álló – akár véges, akár végtelen – sorozatot akkor nevezünk számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbsége – differenciája – (a sorozatra jellemző) állandó.
Triviális példák a csupa azonos elemből álló konstans sorozatok, hiszen ezekben két szomszédos elem különbsége mindig 0; a legegyszerűbb nem triviális példák a természetes számok sorozata (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) vagy a páros számok sorozata (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...). A számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében definiálható egyváltozós lineáris függvény fogalmának diszkrét megfelelője, ahol e függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (D{an} ∈ N).A számtani sorozat és lineáris függvények kapcsolatának részleteit ld. itt.
Definíciói Különbségsorozattal
Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis
, ha
A sorozat (fent d-vel jelölt) különbségét, más szóval növekményét differenciának nevezzük, szokásos jelölése általában is d.
Példák a számtani sorozatra: , itt a differencia 4, =–5, =–1, =3 stb. , a differencia –16, =128, =112, =96 stb. , a differencia 2,3. , a differencia . Ahogy látható, a sorozat elemei és a differencia is lehetnek törtek.
A különbségsorozat fogalma segítségével a számtani sorozat definíciója így hangzik: akkor és csak akkor számtani sorozat, ha állandó, minden olyan -ra, amelyre van a sorozatnak n-edik tagja (ha esetleg a sorozat véges lenne).
Teljesen formalizálva, (an) akkor és csak akkor számtani sorozat, ha létezik olyan C valós szám, amelyre a sorozat két egymást sorrendben követő elemének a különbözete C állandó (a sorozat n indexei pozitív egészek), azaz:
Rekurzív definíció
A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:
Ez azt jelenti, hogy a sorozat következő elemét mindig úgy kapjuk, hogy hozzáadjuk az előző taghoz a differenciát. Ez tényleg pontosan azt jelenti, hogy a sorozat szomszédos tagjainak különbsége állandó.
A képletből következően a számtani sorozatok halmaza egy rekurzív sorozat-család, minimális rekurziós rendje 1, rekurziós szabálya(i) pedig a φd: R→R; φd(x) := x+d függvénycsalád, ahol d a sorozat(ok)ra jellemző állandó.
„Általános taggal” Az első taggal kifejezve
A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért .
Bővebben, a2 = a1+d; a3 = a2+d = (a1+d)+d = a1+2d; a4 = a3+d = (a1+2d)+d = a1+3d; s. í. t. ...
Hasonlóan haladva és teljes indukcióval bizonyíthatóan, an = an-1+d = (a1+(n-2)d)+d = a1+(n-1)d;
A szomszédos tagokkal kifejezve
Ugyanezen okból – a lépésről lépésre d-vel való növekedés miatt – vezethető le az a tulajdonság, amelyről a számtani sorozatok nevüket nyerték. U.is véve a sorozat n-edik (de legalább második) elemét, a megelőző elem d-vel kisebb (an-1 = an-d), a rákövetkező elem d-vel nagyobb (an+1 = an+d).
Tehát (összeadva a fenti egyenlőségeket) an-1 + an+1 = (an-d)+(an+d) = 2an.
Vagyis az n-edik elem a két szomszédos elem számtani közepe („átlaga”): .
De érvényes – hasonló okok miatt – az ennél általánosabb . egyenlőség is minden i<n-re. Azaz egy sorozat akkor és csak akkor számtani sorozat, ha bármely eleme számtani közepe a sorozatban tőle azonos index-távolságra lévő tagoknak. A fenti gondolatmenet egyébként nem igazolja, hogy bármely, a fenti tulajdonsággal jellemezhető sorozat szükségképp számtani, noha az is igaz, ld. Számtani közép/Számtani sorozatok.
Analitikus szemléletű definíció
Az n-edik tagra vonatkozó képletben csoportosítva az állandó és a változó mennyiségeket: .
Így látható, hogy a számtani sorozatok épp azok a sorozatok, melyek az n független változójuk „lineáris” függvényei, azaz az f(n) = mn+c alakú sorozatok, ahol m,c olyan valós állandók, melyekre m=d és c=a1-d.
Példák
első tagkülönbséga sorozat pár tagja n-edik tag (n∈N) 0 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... n-1 0 2 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 2n-2 1 0 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... 1 1 2 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 2n-1 101 -20 101, 81, 61, 41, 21, 1, -19, ... -20n+121 -3,11 -1,01 -3,11; -4,12; -5,13; -6,14; -7,15; -8,16; -1,01n-2,1
Legyen az (an) számtani sorozatban: , a differencia: , akkor a sorozat: 0; 3; 6; 9; 12; 15, ..., és a sorozatot az an = 3n-3 (n∈N) képlet adja meg. Az képlettel definiált sorozat is számtani sorozat (a Pascal-háromszög "második ferde sora"), egyébként (an) = (n) (itt n∈N+).
Összegzési képlet
A sorozat első n tagjának összegét () a következő ötlettel határozhatjuk meg. Vegyük az első n tagot, ezek: . Majd írjuk fel ez alá a tagokat fordított sorrendben, vagyis . Számítsuk ki ennek a 2n darab számnak az összegét. Ez egyrészt a keresett összeg kétszerese, hiszen az első n tag mindegyike pontosan kétszer szerepel. Másrészt pedig az egymás alatt lévő számok összege éppen . Összesen n egymás alatti pár van, vagyis az összeg éppen . De ez az általunk keresett összeg (azaz az első n tag összegének) kétszerese, vagyis a helyes eredmény:
Ha még azt is felhasználjuk, hogy , akkor
Ezt a képletet alkalmazva és esetben, megkapjuk az első n pozitív egész szám összegét, azaz -t vagy leegyszerűsítve: .
E formula lényegében már a XIII. szd.-ban is ismert volt, persze leírása a kornak megfelelően történt; az összegzés módszerét mindenesetre már Leonardo Pisano (ismertebb nevén Fibonacci) is leírta (Liber Abaci; 1202, ch. II.12).
További tulajdonságok Növekedési tulajdonságok A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha
Algebrai tulajdonságok
Két számtani sorozat összege és különbsége, továbbá egy számtani sorozat valós számszorosa (mint például ellentettje) is számtani sorozat.
Konkrétan: ha (an) = (a1+(n-1)d) és (bn) = (b1+(n-1)e) két számtani sorozat, akkor ((a+b)n) = (an+bn) = (a1+b1+(n-1)(d+e)) is számtani sorozat, melynek első tagja a tagok első tagjai összege, azaz a1+b1, és differenciája a tagok differenciáinak összege, azaz d+e.
Továbbá ha α∈R tetszőleges valós szám, akkor α(an) = (αa1+(n-1)αd) is számtani sorozat, első tagja az eredeti sorozat első tagjának α-szorosa; differenciája az eredeti sorozat differenciájának α-szorosa.
Ez azt jelenti, hogy a valós számtani sorozatok az összeadással kommutatív csoportot, illetve a számmal szorzást is hozzávéve, lineáris teret alkotnak. Tetszőleges csoport elemeiből képezett számtani sorozatokra szintén elmondható ugyanez.
Igazolható, hogy két számtani sorozat szorzata mindig másodrendű számtani sorozat, hiszen ha an = a1+(n-1)d és bn = b1+(n-1)e, akkor anbn = [a1+(n-1)d]·[b1+(n-1)e] = a1b1+(n-1)(d+e)+(n-1)2de = (a1b1-d-e+de)+(d+e-2de)n+(de)n2, ami megfelel a Másodrendű számtani sorozatok analitikus szemléletű definíciójának, továbbá az ott írtak alapján az is megállapítható, hogy a szorzatsorozat 1). különbségsorozatának differenciája a tényezők differenciáinak kétszeres szorzata; (D=2de) 2). különbségsorozatának első tagja az 1-gyel megnövelt differenciák szorzatánál eggyel kisebb (Δ(ab)1 = (d+1)(e+1)-1); és . ami a tagonkénti szorzat definíciójának is egyszerű következménye – első tagja természetesen a tényezők első tagjainak szorzata.
Lineáris algebrai leírás
A valós számsorozatok RN+ halmaza a tagonkénti összeadás és a tagonkénti ellentettképzés műveletével kommutatív csoportot alkotnak (nullelem a (0) := (0,0,0,...) sorozat). A számmal való tagonkénti szorzás műveletét hozzávéve pedig vektorteret kapunk. Ezen a téren belül a számtani sorozatok családja egy kétdimenziós generált alteret alkot, amelyet az {1} := {1,1,1,...} és az (n) := (1,2,3,4,5...) sorozatok generálnak, hiszen tetszőleges n>-0-ra (an) = (a1+(n-1)d) = (a1+nd-d) = a1·(1)+d(n)+(-d)·(1). Tehát a számtani sorozatok halmaza a <(0), (n)> generált altér. Magasabb rendű számtani sorozatok A sorképzéssel számtani sorozatokra visszavezethető sorozatok magasabb rendű számtani sorozatok. Ezek éppen azok a sorozatok, melyek képzését polinommal lehet leírni. A polinom foka megegyezik a sorozat rendjével. Összegzési képletek Képletek a különböző rendű számtani sorozatok részletösszegeinek kiszámítására:
Általános esetre alkalmazható a Faulhaber-képlet: . ahol a -adik Bernoulli-szám. Tetraéderszámok A tetraéderszámok harmadrendű számtani sorozatot alkotnak. A sorozat elemei ezzel a harmadfokú polinommal számíthatók ki: . A polinomban szereplő legnagyobb hatvány a polinom foka.
Sorozat: 1. különbségsorozat: 2. különbségsorozat: 3. különbségsorozat:
A táblázatból láthatóan a tetraéderszámok első különbségsorozata a háromszögszámok másodrendű számtani sorozata. Négyzetszámok A négyzetszámok sorozata másodrendű számtani sorozat:
Sorozat: 1. különbségsorozat: 2. különbségsorozat: Többdimenziós számtani sorozatok A számtani sorozatok magasabb dimenziós általánosítása
ahol , , konstansok. A definíció hasonló más dimenziókban.
Érdekességek
Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr. e. 1750-ből való. Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 stb., ami összesen -et eredményez (lásd az összegzési képletet). Több információ a témában itt található:. A számtani sorozatok egymás után tetszőleges véges számú prím elemet tartalmazhatnak, ahogy azt Terence Tao és Ben Green bebizonyította.Ben Green; Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics 167 (2008), Nr. 2, S. 481–547. Vgl. David Conlon; Jacob Fox; Yufei Zhao: The Green–Tao theorem. An exposition. In: EMS Surveys in Mathematical Sciences 1 (2014), Nr. 2, S. 249–282. 2015-ben négy ilyen leghosszabb sorozatot ismertek, melyek 26 elemből álltak (AP-26). 43142746595714191 + 23681770·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 és 23# = 223092870 (Benoãt Perichon, 2010. április 12.); 3486107472997423 + 1666981·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (James Fry, 2012. március 16.), 136926916457315893 + 44121555·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2014. február 23.) 161004359399459161 + 47715109·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2015. február 19.).
Egy tízelemű hasonló sorozat:
Jegyzetek
Fordítás
Irodalom Varga Tamás: Matematika lexikon. Műszaki Könyvkiadó, SHL Hungary Kft., Budapest 2001. ; Sain Márton: Nincs királyi út – Matematikatörténet. Gondolat, Budapest 1986.
További információk Dr. Rókáné Rózsa Anikó írása Számtani és mértani sorozat definíciója Számtani sorozat
Kapcsolódó szócikkek On-Line Encyclopedia of Integer Sequences általánosított számtani sorozat másodrendű számtani sorozat mértani sorozat Dirichlet-tétel Van der Waerden-tétel Szemerédi-tétel Green–Tao-tétel
Kategória:Sorozatok