bélyegkép|jobbra|325px|A Γ-függvény grafikonja a valós számegyenes mentén A Γ-függvény (gamma-függvény) a következő képlettel definiált komplex változós függvény:
Mivel az nagyon gyorsan 0-hoz tart, az integrál minden valós s > 0-ra, sőt minden pozitív valós részű komplex s esetén létezik. Parciális integrálással adódik, hogy ha s valós része 1-nél nagyobb, akkor
is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n − 1)!, azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának −1 feletti valós számokra.
A faktoriálisnak léteznek más általánosításai is, de ez a legnépszerűbb és a legtöbb területen használt. A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűségszámítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűség-eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ²-eloszlás, a Student-féle t-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás.
Tulajdonságai
A Gauss-féle definíció:
A Weierstrass-féle szorzatalak:
ahol γ az Euler-állandó.
A Gauss-féle sokszorozási formula:
Ha x nem egész szám, akkor
Speciálisan .
A gamma-függvény az egyetlen, az egész komplex síkon értelmezett meromorf f(s) függvény, ami egyszerre elégíti ki az alábbi három feltételt:
konvex a valós egyenes (0, +∞) és a [(–k, –k+1), k pozitív egész] intervallumain.Importance of Log Convexity of the Gamma Function
Hölder tétele: a -függvény nem megoldása semmilyen algebrai differenciálegyenletnek, ahol az együtthatók racionális törtfüggvények. A Γ-függvény sehol sem veszi fel a nulla értéket, ezért a reciproka, az holomorf függvény. A Γ-függvény megfelel a Mellin-transzformált reciprok exponenciális függvénynek:
Aszimptotikák
A gamma-függvényt nagy értékekre a Stirling-formula segítségével közelíthetjük meg:
illetve
Logaritmusának aszimptotikus hatványsora:
Hányados aszimptotikus előállítása:
Jegyzetek
Források Fazekas F. – Frey T.: Operátorszámítás, speciális függvények (Tankönyvkiadó, 1965) Fazekas I. (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)
További információk Weisstein, Eric W.: "Gamma Function". – MathWorld – A Wolfram Web Resource Faktoriális algoritmusok Faktoriális algoritmusok Faktoriális közelítései Közelítő képletek Számológépek a faktoriálishoz Számológépek a faktoriálishoz
Kapcsolódó szócikkek Spouge-formula
Kategória:Valószínűségszámítás Kategória:Valós analízis Kategória:Komplex analízis Kategória:Analitikus függvények