thumb|Pszeudoszféra Marosvásárhelyen, a Bolyai téren 250px|bélyegkép|jobbra|Illusztráció Euklidész: Elemek c. híres geometria-tankönyvéhez (Franciaország, XIV. szd. első évtizedei)
A matematika tárgyát és módszereit tekintve, sajátos tudomány, mely részben a többi tudomány által vizsgált, részben pedig a matematika „belső” fejlődéséből adódóan létrejött (felfedezett, ill. feltalált) rendszereket, struktúrákat, azok absztrakt, közösen meglévő tulajdonságait vizsgálja. A matemaikai alapkutatásban és a matematika filozófiájában az elmúlt két évszázadban elért pozitív és negatív jellegű eredmények hatására tagadhatatlan mértékű disszenzus (egyet nem értés) van az illetékesnek tekinthető szakemberek (matematikusok, didaktikai szakemberek, pedagógusok, alkalmazott matematikusok és fizikusok, filozófusok stb.) között a matematika pontos definícióját és szerepét illetően, a mesterséges intelligencia legújabb felfedezése, a nagy nyelvi modellek matematikai bizonyításokat érintő kezdeti sikerei után sokan az intézményes matematika mint emberek által művelt tudomány jövőbeli létjogosultságát is megkérdőjelezik..
Régebben a „mennyiség és a tér tudományaként” (vagyis a számok és geometriai alakzatok tanaként) határozták meg, a múlt század elejétől kezdve pedig a matematikáról azt tartották, hogy az „a halmazelmélet absztrakt struktúráinak formális logikai szemlélettel és a javarészt erre épülő matematikai jelölésrendszerrel való vizsgálata”.
Ma már nemcsak az első, hanem a második álláspontot is vitathatónak, túlhaladottnak tartják mind egyes tudományfilozófiai, mind egyes didaktikai áramlatok képviselői.Ld. például Davis-Hersh: A matematika élménye. – Műszaki könyvkiadó, Budapest,1984.; Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok; Ambrus András: Bevezetés a matematikadidaktikába. A matematikát nehéz pontosan meghatározni, mibenlétének kérdése még manapság is, sőt manapság különösen, vita tárgya, élő és nem lezárt tudományos probléma, mellyel a matematikafilozófia (a filozófia egyik területe, sőt már-már önálló tudományága) foglalkozik. Amíg a matematikába sorolt tevékenységekről, módszerekről és fogalmakról (vagyis mi az, ami a matematika körébe tartozik, és mi az, ami nem) ha nem is teljes, de nagy fokú és vitákat alig-alig kiváltó egyetértés alakult ki, addig a matematika által tanulmányozott fogalmak lételméleti helyzetéről, ismeretelméleti megközelítéséről, magának a matematikának mint tevékenységnek a jellegéről, sőt céljáról („keményvonalas” természet- vagy pedig „szoft” társadalomtudomány, esetleg művészet; empirikus vagy inkább normatív stb.) a legkülönfélébb releváns elképzelések léteznek egymással párhuzamosan.
Ezért a következőkben megpróbáljuk ehelyett néhány fontos, megkülönböztető sajátosságát kiemelni, melyek egyike-másika más tudományokban is megtalálható, de így együtt az összes csak a matematikában.A cikkben ismertetett kritériumrendszer forrása: Filep László: A tudományok királynője. Typotex, 1997. A matematika sajátossága elsősorban különleges témaválasztásában, kutatási területeiben és módszereiben, nyelv- és jelölésrendszerében rejlik.
bélyegkép|250px|Abakusz – számolótábla képe az Encyclopædia Britannica 1875-ös kiadásából
A matematika megkülönböztető sajátosságai Magasfokú absztrakció és specializáció
A legegyszerűbb matematikai fogalmak is, mint a szám vagy a pont fogalma, magas fokú, és történetileg szinte mindig több évszázad, évezred alatt végbemenő absztrakció eredményei. E folyamat során dolgok (tárgyak, fogalmak) egy összességét tekintve elvonatkoztatunk azon tulajdonságoktól, melyek a vizsgálat szempontjából lényegtelenek, és csak bizonyos kiemelt tulajdonságokat veszünk figyelembe. Matematikailag egy absztrakció eredményeképp létrejött fogalom azonosítható azon dolgok halmazával, melyek a fogalom körébe tartoznak.
A matematikában gyakorta előfordul a specializációnak elnevezett fogalomalkotási eljárás. Ez logikailag egy fogalomból részfogalom, halmazelméletileg pedig egy halmazból részhalmaz képzésének felel meg. Így kapjuk például a „kutya” fogalmából a „belga juhászkutya”, a „kémiai elem” fogalmából a „halogénelem”, a „szám” (egész szám) fogalmából a „páros” illetve „páratlan” szám fogalmát
Sajátos módszerek
Módszerei szintén igen jellemzőek e tudományra, ezek közül a legfőbbek a matematikai logika tudományára alapozott deduktív vagy axiomatikus ismeretszerzés-rendezés (az úgynevezett axiomatikus-deduktív módszer), és (elsősorban a halmazelmélet szimbolikájára, nyelvezetére alapozott) speciális matematikai nyelv, jelölésrendszer.
Különleges nyelvezet és szimbolika
Mivel a matematika gyakran olyan fogalmakkal és módszerekkel dolgozik, melyek a „való” életben és más tudományokban csak áttételesen fordulnak elő, szükség volt egy sajátos szaknyelv, ezen túl pedig egy tömör és a köznyelvi kétértelműségektől mentes szimbólumrendszer, a matematikai nyelv kialakulására. Ez a matematika történeti fejlődése során hosszasan alakult és formálódott: kezdetben a matematikusok is mindent élőszóban és írásos köznyelven fejeztek ki (retorikus matematika korszaka), majd szórövidítéseket kezdtek alkalmazni (elsőként Diophantosz görög matematikus, algebra- és számelmélet-kutató), az ilyen jelek később egyre inkább elszakadtak köznyelvi jelentésüktől és formájuktól (szinkopált matematika korszaka), és a mai matematikai szimbólumokká (=, gyökjel, integráljel stb.) alakultak (formális matematika korszaka). A matematika minden ágának megvan a maga külön szaknyelve és „nyelvjárása”, de a múlt század közepétől elterjedt halmazelméleti-logikai szemlélet híveinek és az ezzel járó nyelv- és szimbólumhasználatnak hosszú időre sikerült olyan tartalmi és formai egységet teremteniük a matematikában, mely utolérte, sőt túl is szárnyalta az ókori görög matematika ez irányú teljesítményét.
A matematika tárgya és besorolása
bélyegkép|400px|Egybevágósági transzformációk az euklideszi síkon
A matematika által vizsgált rendszerek legtöbbször a természettudományokból származnak, ezen belül is gyakran a fizika tárgyköréből. Szokás néha a matematikát is a természettudományok közé sorolni, de erről a szakemberek – matematikusok, filozófusok, tudománytörténészek – stb. véleménye megoszlik.
Egyesek a matematikát szociális konstrukciónak tartják, abban az értelemben, hogy úgy tekintik, a matematika fogalmai a – Émile Durkheim által a szociológiában bevezetett kifejezést használva – kollektív gondolkodás termékei (lásd erről: Reuben Hersh). Mások a matematika által vizsgált objektumoknak egy külön, az anyagi és társadalmi létezésnél magasabb rendű, de legalábbis azoktól teljesen különböző létezési formát tulajdonítanak (lásd erről Karl Popper filozófus, vagy a modern logika legmegrázóbb eredményeit elérő Kurt Gödel matematikai logikus platonista álláspontját). Sokan pedig, nem ritkán matematikusok, a matematikát inkább művészetnek, mint tudománynak tartják. A matematika besorolása tehát vitatott.
Annyi bizonyos azonban, hogy a fizikából vagy egyéb alkalmazott tudományból vett témakörökön kívül a matematikusok például gyakran olyan struktúrákkal is foglalkoznak, melyek a matematikán belül nyernek értelmet, nem más tudományterületekről származnak.
bélyegkép|200px|Fermat-féle spirál
A matematika eredete és története
A matematika tudományának kialakulásával, változásaival, vagyis a matematika történetével a tudománytörténet megfelelő ága, a matematikatörténet foglalkozik.
A matematika szó a görög „manthano” (tanulni) igéből származik, származékai: a μάθημα (máthema) szó jelentése „tan, tudomány, tudás”, a μαθηματικός (mathematikós) pedig azt jelenti, „tudásra vágyik”. A „ta mathematika” a preszókratikus filozófusok korában „megtanulható/megtanulandó, gondolattal felfogható dolgok”-at (vagyis, mai szóval, „tudományt”) jelentett: a matematika körébe soroltak minden elméleti jellegű ismeretet. Püthagorasztól kezdve már inkább csak az elméleti jellegű, „tiszta” mennyiségtant; szemben az alkalmazott mennyiségtani tudományokkal, mint a csillagászat vagy az optika .
Gyakori álláspont, hogy történelmileg a matematika legalapvetőbb szabályai – amennyire ez a legkorábbi ismert matematikai tárgyú iratokból (például Ahmesz-papirusz) kiderül, gabonaszétosztási, űrmérték-, térfogat- és földterület-mérési, és hasonló egyszerű, a „való életből” vett, élelmezési, kereskedelmi, gazdasági jellegű problémák megoldásából adódik. Ez az állapot jellemző lehetett az ókori keletre. Mások hangsúlyozzák a korai matematika szakrális, vallásokkal, ill. filozófiákkal kapcsolatos jellegét is. Az ókorban, ha nem is mindig a mai teljességgel, de ismert volt rengeteg olyan eredmény (például az összeadás és szorzás fogalma, a törtek, a fontosabb geometriai idomok és több esetben ezek terület- és térfogat-képletei, a π szám közelítése, az algebrai egyenletekhez vezető gondolkodásmód stb.), melyet ma általános iskolákban tanítanak.
A görög civilizáció felemelkedésével a matematika óriási elméleti fejlődésen ment át anélkül, hogy gyakorlati alkalmazásaitól elfordultak volna. A folyamat az elméleti matematika kibontakozásával, a püthagoreusok számelméleti és Thalész geometriai felfedezéseivel indult (Kr. e. VI. szd.), viszont az egyik legnagyobb görög matematikust, Arkhimédészt az alkalmazott matematika legfontosabb korai alakjának tartjuk. A – mai szóval – irracionális számok püthagoreusok általi felfedezése hatalmas lökést adott a geometriai felfedezéseknek, és e folyamat végül Eukleidész híres tankönyvéhez, az Elemekhez vezetett; ugyanakkor a tiszta algebra fejlődését némileg visszavetette. A korszak (vagy annak vége) fontos és híres, megoldhatatlannak bizonyult problémái a kockakettőzés és a körnégyszögesítés, a korszak eredményei közt van még a kúpszeletek felfedezése.
E fényesként számontartott korszak azzal ért véget, hogy a római civilizáció (gyakorta erőszakos módon) rátelepedett a görögre, és megszerezte az akkori művelt világ feletti uralmat. A matematika szempontjából a mediterrán római és az azt követő kontinentális korai keresztény civilizációt (kb. a reneszánsz idejéig) a stagnálás, ha nem a hanyatlás korszakának szokás tekinteni. Egy fontos kivétel azért akad: a skolasztikus keresztény műveltségben fontos szerepet kapott a logika. A korszak fontos lépése volt, hogy megkezdődött a negatív számok felfedezése és sok vitát kiváltó elismerése, illetve a római helyett az arab számírás legalább ennyi vitát kiváltó bevezetése.
Ha ezzel egy időben keletebbre tekintünk, ott a helyzet kevésbé volt „rossz”: az arab, indiai és kínai matematika ebben az időben is virágzott, noha új felfedezések és más egyebek tekintetében egyik sem mérhető a görögökéhez. Az arabokat a geometrizáló görögökkel ellentétben inkább az algebra érdekelte, e tudományt magas szinten művelték.
Az európaiak önálló új eredményeket csak a reneszánsz idején értek el ismét: fontos probléma a harmadfokú egyenletek megoldása (ami a komplex számok fogalmának kialakulásához vezetett). A korszakban az ókori eredmények egy részét és általában az egész ókori kultúrát újra felfedezték. A reneszánsz festők a perspektíva felfedezésével és vizsgálatával olyan tér-modellt alkottak, mely megalapozta a projektív geometria tizenkilencedik századi kialakulását.