thumb|300px|right|A hat darab 3×3-as permutálómátrix „szorzótáblája”. A kis 3×3-as négyzetecskék jelképezik az egyes mátrixokat, a pirosra színezett cellák az 1 értékű, míg az üresen hagyottak a 0 értékű cellákat. A középen lévő táblázat elemei a sorok és oszlopok fejlécében lévő mátrixok e sorrendben vett szorzatai
Egy n×n-es mátrixot permutálómátrixnak („átrendezőmátrixnak”) nevezünk, ha minden sorában és minden oszlopában egy és csak egy cellában 1-es áll, a többi elem a sorokban, illetve oszlopokban nulla.
Egy másik (generikusabb szemléletű) definíció szerint, n×n-es permutálómátrix minden olyan mátrix, mely úgy adódik, hogy az n×n-es egységmátrix sorainak vagy oszlopainak sorrendjét megváltoztatjuk.
A permutálómátrixok nevüket onnan kapták, hogy a velük való szorzás eredményeképp az n×n-es mátrixok sorai (ha a permutálómátrixszal balról szorzunk), illetve oszlopai átrendeződnek, azaz az eredménymátrix a permutálómátrixszal szorzott mátrix két vagy több sorának, illetve oszlopának felcserélésével áll elő, de a sorok, illetve oszlopok (például elemeik) más tekintetben nem változnak meg.
Példák
Példa 2×2-es, 3×3-as és 4×4-es permutálómátrixra:
Az A sor-főindexei f(1) = 2, f(2) = 1. A B sor-főindexei f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3. A mátrixok véletlenül szimmetrikusak a főátlóra, ezért az oszlopindexek ugyanazok, mint a sorindexek: g(1) = 2, g(2) = 1; illetve g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = 3. A W sor-főindexei rendre 2,3,1,4; míg oszlop-főindexei rendre 3,1,2,4.
Nevezetes példa permutálómátrixra az n×n-es En egységmátrix:
Főindex A fentiek szerint egy P permutálómátrix minden i sorindexhez létezik egy f(i) oszlopindex, amelyre pi,f(i) = 1, míg a j∈Nn, j≠f(i) oszlopindexekre pi,j=0. Az f(i) oszlopindexet a mátrix i-edik sorának főindexének, avagy sor-főindexének nevezzük, a pi,f(i) = 1 elemet pedig a mátrix i-edik sora főelemének, vagy sor-főelemének.
Hasonló igaz az oszlopokra is, minden j oszlopindexhez létezik egy g(j) sorindex, amelyre pg(j),j = 1, míg az i∈Nn, i≠g(j) sorindexekre pi,j = 0. A g(i) oszlopindexet a mátrix i-edik oszlopának főindexének, avagy oszlop-főindexének nevezzük, a pg(j),j = 1 elemet pedig a mátrix j-edik oszlopa oszlop-főelemének.
Ha több permutálómátrix főindexeiről beszélünk, akkor alsó indexben feltüntetjük a mátrixok betűjelét, például az A permutálómátrix i-edik (sor-)főindexe fA(i).
A permutálómátrix átrendezi az elemeket
A permutálómátrixokkal való szorzás felcseréli a vektorok elemeit, azok sorrendjét megváltoztatja. Egy X mátrix P permutálómátrixszal való szorzása balról a szorzott mátrix (X) sorait rendezi át, mégpedig úgy, hogy a PX szorzatmátrix i-edik sora az eredeti szorzandó mátrix (X) f(i)-edik sora lesz, ahol f(i) a permutálómátrix i-edik sorának főindexe. Egy X mátrix P permutálómátrixszal való szorzása jobbról a szorzott mátrix (X) oszlopait rendezi át, mégpedig úgy, hogy az XP szorzatmátrix j-edik oszlopa az eredeti szorzandó mátrix (X) g(j)-edik oszlopa lesz, ahol g(j) a permutálómátrix j-edik oszlop-főindexe.
Illusztráció:
illetve
Továbbá, legyen . Ekkor
Bizonyítás:
A balról szorzásra (sorok átrendezésére) vonatkozó állítást bizonyítjuk. Legyen A tetszőleges n×n-es permutálómátrix, melynek főindexalakja , legyen a szorzandó mátrix . Ekkor definíció szerint az AB n×n-es szorzatmátrix i-edik sorában és j-edik oszlopában álló eleme . Ez azt jelenti, a szorzatmátrix i-edik sorába (tehát ha az „i” indexet az abi,j kifejezésben rögzítettnek gondoljuk ) a szorzandó mátrix f(i)edik sorának elemei kerülnek, egyéb változtatás nélkül. Ezt akartuk belátni. Még precízebb bizonyítás adható a szumma-jelöléssel: , és az eredményből levont következtetést ld. a fentebbi szöveges sorokban. QED. A jobbról szorzásra vonatkozó állítás hasonlóan bizonyítható, csak a sor-főindexek helyett az oszlop-főindexeket kell nézni: , s ez pontosan azt jelenti, hogy a szorzatmátrix j-edik oszlopa a B g(j)-edik oszlopával egyezik meg.
A permutálómátrixok csoportja
A definícióból adódóan két n×n-es permutálómátrix összege, különbsége, számszorosa (kivéve az egyszeresét), például ellentettje sosem permutálómátrix, például , ez nem permutálómátrix. Így a lineáris kombinálás (leszámítva a nagyon triviális esetet, amikor az egyik együttható 1, az összes többi nulla) kivezet az n×n-es permutálómátrixok köréből.
Érvényes viszont, hogy a permutálómátrixok a mátrixszorzásra nézve egységelemes csoportot alkotnak.
Külső hivatkozások
Kategória:Mátrixok