A matematikában, azon belül a számelméletben a Lagarias-féle aritmetikai derivált (vagy számderivált) az egész számokon értelmezett függvény. A prímtényezős felbontáson alapszik és a differeciálszámítás szorzatszabályával analóg módon viselkedik.
Az aritmetikai deriváltnak több változata létezik, beleértve az ebben a cikkben tárgyaltat (a Lagarias aritmetikai deriváltat) is. Másik fajtája például az Ihara-derivált és a Buium-derivált. Az aritmetikai derivált Josè Mingot Shelly spanyol matematikus vezette be 1911-ben. A fogalom az 1950-es Putnam-versenyen is megjelent.
Definíció Jelölje az természetes szám aritmetikai deriváltját. (A szokásos deriválthoz hasonlóan itt is lehetségesek egyéb jelölések, például .) Ezt a következőképpen definiáljuk: bármilyen prímre . minden -re (Leibniz-szabály).
A természetes számokra adott definíciót Edward J. Barbeau terjesztette ki. Először is negatív számokra legyen . A kiterjesztést folytathatjuk a racionális számokra a hányadosszabály által:
Barbeau megmutatta, hogy ez jóldefiniált függvényt ad meg.
Victor Ufnarovski és Bo Åhlander kiterjesztette az aritmetikai deriváltat bizonyos irracionális számokra is. Ezekben az esetekben is a fenti képlet érvényes, de a prímek kitevői tetszőleges racionális számok lehetnek, lehetővé téve például a és hasonló kifejezések kiszámítását.
Az aritmetikai derivált emellett definiálható bármely UFD-ben, azaz például a Gauss-egészek és az Eisenstein-egészek gyűrűjében, illetve ezek hányadostesteiben. Ha az UFD egyben polinomgyűrű, akkor az aritmetikai derivált egybeesik a polinomgyűrűben a szokásos formális deriválttal.
Az aritmetikai derivált továbbá definiálható a moduló egészek gyűrűjében is.
Elemi tulajdonságok A Leibniz-szabály következménye, hogy () és ().
A hatványozási szabály a számderiváltra is érvényes: bármely és egész szám esetén:
Ez lehetővé teszi a számderivált kiszámítását a prímtényezős felbontás alapján: ha , akkor
Például:
vagy
A számok számderiváltjai a következők: :
Logaritmikus aritmetikai derivált A hagyományos logaritmikus deriválttal analóg módon definiálható a logaritmikus aritmetikai derivált: . Ez egy teljesen additív függvény, azaz .
Egyenlőtlenségek és korlátok EJ Barbeau vizsgálta az aritmetikai derivált korlátait.Barbeau, E.J. (1961). Remarks on an arithmetic derivative. URL: https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/1FD7F09AD3972692FC97BB23A21D0BD8/S0008439500050773a.pdf/remarks_on_an_arithmetic_derivative.pdf
és
Dahl, Olsson és Loiko megállapította, hogyDahl, N., Olsson, J., Loiko, A. (2011). Investigations on the properties of the arithmetic derivative. On page 4. URL: https://arxiv.org/pdf/1108.4762.pdf
Számelméleti jelentősége Victor Ufnarovski és Bo Åhlander vizsgálták az aritmetikai derivált kapcsolatát fontos számelméleti sejtésekkel, például az ikerprím-sejtéssel és a Goldbach-sejtéssel. Megmutatták, hogy a Goldbach-sejtésből következne, hogy minden -re létezik olyan , hogy . Az ikerprím-sejtésből pedig az következne, hogy végtelen sok olyan szám létezik, amelyre .
Jegyzetek
Fordítás
Kategória:Számelméleti függvények Kategória:Differenciálszámítás