Számtani vagy aritmetikai középértéken darab szám átlagát, azaz a számok összegének -ed részét értjük. A számtani közepet általában betűvel jelöljük: . A kiindulási értékeket összeadjuk, majd az összeget elosztjuk az összeadott számok darabszámával. A hétköznapi életben ezt egyszerűen „átlagnak” hívjuk. A matematikában a számtani közép elnevezés a mértani és a harmonikus középtől való megkülönböztetést szolgálja. Ezt a hármat pitagoraszi középnek is nevezik.
Ideálisan normális eloszlású, vagy akár csak szimmetrikus eloszlású adatok esetén a számtani közép értéke egybeesik a medián és a módusz értékével. Ha az eloszlás ferde, akkor a számtani közép nem esik egybe a mediánnal és a módusszal, tehát nem ez a leggyakoribb érték, és nem is a középső érték.
A könnyű számíthatósága és értelmezhetősége okán számos területen használják, például statisztikában, történelemben, szociológiában és pénzügyekben. Annak ellenére, hogy statisztikailag nem megfelelően jellemzi a sokaságot, az egy főre jutó jövedelmet számtani középpel számítják. Ennek oka, hogy habár közép felé húz, a számtani közép nem robusztus statisztika, mivel erősen hatnak rá a kilógó adatok, például a kevés magas jövedelem felhúzza a számtani közepet. Ezek hatása csökkenthető a kiugró értékek kiszűrésével, mint például a Dixon teszt vagy a Grubbs teszt, vagy más az eloszlásnak megfelelő statisztikát és középérték-számítást kell választani.
Egy téves használat szerint, ha x és y számok, akkor bármely számtani sorozat, aminek tagjai a kettő közé esnek, nevezhető x és y számtani közepének.
Értelmezés Az a és a b számok számtani közepe akkor és csak akkor m, ha .
Legyenek független azonos eloszlású valószínűségi változók várható értékkel és szórással, ekkor az középérték szintén körül ingadozik, és szórása kisebb, mint . Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).
A számtani középre vonatkozó alaptétel
Tétel: Ha valós számok, és , vagyis az és számok számtani közepe, akkor . Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az és a számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha , akkor és .
Adott valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:
Algebrai tulajdonságok Ha a tetszőleges számsorozatot tetszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség: Tetszőleges pozitív valós számok esetén fennáll az egyenlőtlenség, melyben pontosan akkor áll fenn egyenlőség, ha .
Mivel középre húz, alkalmas a centrális tendencia mérésére. Ezek közé tartozik, hogy: Ha az számok számtani közepe , akkor . Ezt azzal szemléltetik, hogy a számtani középtől balra és jobbra levő számok ellensúlyozzák egymást. A számtani közepet egyértelműen meghatározza ez a tulajdonsága, tehát nincs más ilyen tulajdonságú szám. Ha az számokat egyetlen paraméterrel kell jellemezni, akkor erre a számtani közép a legalkalmasabb, mivel minimalizálja a négyzetes eltéréseket a paramétertől. Ezt a minta négyzetes hibájának, vagy torzított tapasztalati szórásnégyzetnek nevezik. A számtani közép (ilyen kontextusban tapasztalati várható érték) torzítatlanul közelíti a minta várható értékét. Szembeállítás a mediánnal A számtani közép szembeállítható a mediánnal. A medián definíció szerint a minta középső eleme, tehát az elemek fele kisebb, fele nagyobb nála. Páros elemszám esetén a medián a két középső elem számtani közepe. A számtani közép és a medián akkor esik egybe, ha a rendezett sorozat számtani. Például, ha a rendezett sorozat akkor a számtani közép és a medián is 2,5. Ha például , akkor a számtani közép 6,2, de a medián 4. A számtani közép lehet sokkal nagyobb, vagy kisebb is, mint a sorozat legtöbb eleme.
A medián és a számtani közép együttes használata elterjedt. Statisztikai elemzések szerint az 1980-as évektől az Amerikai Egyesült Államokban a jövedelem számtani közepe gyorsabban nőtt, mint a mediánja.Paul Krugman, "The Rich, the Right, and the Facts: Deconstructing the Income Distribution Debate" , 'The American Prospect'
Számtani sorozatok Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában tag az és tagok számtani közepe, ha pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.
Súlyozott számtani közép A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.
A súlyozott számtani közép számítása:
.
ahol az számok rendre a súlyokkal szerepelnek.
A keverési feladatokban jelöli a koncentrációt vagy a hőmérsékletet, és a térfogatot, vagy a tömeget.
A statisztikai alkalmazásokban az adatpontokhoz tartozó súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.
Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.
A valószínűségszámításban, ha az valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke , de szórásuk rendre , akkor a súlyozott középérték körül ingadozik, és szórásnégyzete .
Ha most , akkor
.
A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség alapján .
A választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.
Alkalmazás A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.).
Függvény középértéke A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.
Az Riemann-integrálható függvény középértéke
Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság , akkor az
számtani közép tart az középértékhez.
Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik , amire , a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.
A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a súlyfüggvény pozitív minden -re. Ekkor a súlyozott középérték .
Az mértéktérben, ahol , a Lebesgue-integrálható függvények középértéke .
Valószínűségi tér esetén, ahol , a középérték az
alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke. Folytonos valószínűségi eloszlások
Valószínűségi eloszlások esetén annak a valószínűsége, hogy az érték a számegyenes melyik szakaszára esik, különbözhet attól, hogy az érték egy másik, de ugyanolyan hosszú szakaszra esik. Egyenlőség minden szakaszpárra csak geometriai eloszlás esetén áll fenn. A többi esetet eloszlásfüggvénnyel vagy sűrűségfüggvénnyel írják le. A súlyozott átlag megfelelője itt a valószínűségeloszlás várható értéke. A valószínűségeloszlás folytonos, ha eloszlásfüggvénye folytonos. A sűrűségfüggvény létezéséhez az eloszlásfüggvénynek differenciálhatónak kell lennie. Az egyik leggyakrabban használt eloszlásfüggvény a normális eloszlás, ami szimmetrikus a várható értékére, így mediánja és módusza is a várható értéke. Nem szimmetrikus eloszlások esetén ezek különböznek. Egy gyakran használt nem szimmetrikus (ferde) a lognormális eloszlás, amit az ábra is mutat. Szögek Szögek és más hasonló mennyiségek, egy modulus szerinti mennyiségek átlagolására alkalmatlan a számtani közép. Az egyik nehézség az, hogy a két mennyiségnek két távolsága van, amelyek közül a kisebbet szokták távolságon érteni, de a számtani közép lehet, hogy a nagyobb távolságot felezi. Például, ha a két mennyiség 1 és 359 fok, akkor a hagyományos számtani közép 180 fokot ad, pedig a 0 vagy 360 foknak geometriai jelentése is lenne. Egy másik probléma az, hogy a modulo mennyiségek értelmezhetők többféleképpen is. Például 1 és 359 fok helyett lehetne 1 és -1 fok, de lehetne 361 és 719 fok is, ami több különböző eredményt ad. Éppen ezért ezekre a mennyiségekre át kell definiálni a számtani közepet, hogy a moduláris távolságot felezze. Az így definiált mennyiség a moduláris számtani közép, vagy moduláris átlag.
Kapcsolat más közepekkel Legyen egy intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a súlyok. Ekkor az számok -vel súlyozott kváziaritmetikai közepe
.
Nyilván .
Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. visszaadja a számtani közepet, a mértani közepet, és a k-adik hatványközepet.
Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:
Kapcsolódó szócikkek Kváziaritmetikai közép (általánosítás) A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség
Jegyzetek
Források A középértékek és a lemniszkáta Fordítás
Kategória:Középértékek