A Weierstrass-elmélet a matematikában egy hatványsorok egy bizonyos alakú szorzattá bontásáról szóló tételcsalád. Az említett szorzat egyik tényezője ekkor egy úgynevezett kitüntetett vagy Weierstrass-polinom, (egy) másik tényezője pedig egy megfelelő értelemben vett egység. Weierstrass-elméletről beszélhetünk a többváltozós komplex analízisben, valamely teljes lokális gyűrű feletti formális hatványsorok esetében, illetve Tate-algebrákban.
Többváltozós komplex analízis Az egyváltozós komplex analízisben megmutatható, hogy ha egy függvény holomorf a 0 egy nyílt környezetében, akkor felírható z egy hatványának és egy 0-ban nem eltűnő holomorf függvénynek a szorzataként. Ekkor a z kitevője a 0 zérushely multiplicitása.
Ezt általánosítja a Weierstrass-előkészítésitétel: Legyen egy n-változós holomorf függvény a egy nyílt környezetében úgy, hogy valamely s multiplicitással, és az egyváltozós függvény nem azonosan nulla. Ekkor valamely környezetében f felírható
szorzatalakban, ahol minden i-re változós holomorf függvény, , g pedig holomorf és nem tűnik el a egy környezetében. Ehelyett az analitikus megfogalmazás helyett a tétel kimondható algebrai formában is: Legyen , és legyen s az f legkisebb fokú nemnulla együtthatós monomja. Ekkor f felírható
szorzatalakban, ahol zeró konstans taggal, és nemzéró konstans taggal. Továbbá ez a szorzatalak egyértelmű. A két megfogalmazás ekvivalenciáját a holomorficitás és analiticitás közti kapcsolat adja. A második megfogalmazás arra is rámutat, hogy a tétel lényegében algebrai állítás.
Ebben az algebrai kontextusban mondjuk ki a Weierstrass-maradékososztási tételt: Legyen , legyen valamely s multiplicitással, és tegyük fel, hogy nem azonosan nulla. (Azaz g teljesíti az előkészítési tétel feltételeit.) Ekkor léteznek egyértelmű és legfeljebb fokú polinom úgy, hogy r együtthatói eltűnnek -ban, és .
Tate-algebrák Legyen K egy test egy nemtriviális nemarkhimédeszi abszolút értékkel, amire nézve K teljes. A komplex analízissel való analógiában ez a K test játssza a komplex számok szerepét: a különbség abban áll, hogy K nemarkhimédeszi, míg arkhimédeszi teljes test. A Tate-algebrák elmélete a rigid geometriához tartozik: ezen terület célja a komplex geometriával analóg elmélet felépítése nemarkhimédeszi testek felett.
A Tate-algebra azon K feletti n-változós formális hatványsorokból áll, amiknek együtthatói nullához tartanak:
Itt , ha , és . A Tate-algebra elemeit megszorított vagy szigorúan konvergens hatványsoroknak is nevezik. A szigorúan konvergens hatványsorok megfelelői a komplex analízisben az analitikus függvények, azaz azok a függvények, amik megadhatók konvergens hatványsorral.
A Tate-algebra Banach-algebra a következő módon definiált Gauss-normára nézve:
Legyen f a Tate-algebra egy eleme. Ekkor f felírható olyan hatványsorként változóval, aminek együtthatói változós megszorított hatványsorok, azaz , ahol . Az f megszorított hatványsort s rendű -kitüntetettnek nevezzük, ha van olyan , hogy egy egység, , és minden -re .
A Tate-algebrák Weierstrass-maradékososztási tétele a következő: Legyen s rendű -kitüntetett megszorított hatványsor. Ekkor minden megszorított hatványsorra létezik egy egyértelmű megszorított hatványsor és egy egyértelmű megszorított hatványsor együtthatós legfeljebb -edfokú polinom, hogy . Ekkor .
A megfelelő Weierstrass-előkészítésitétel pedig a következő: Legyen s rendű -kitüntetett megszorított hatványsor. Ekkor létezik egy egyértelmű egy főegyütthatójú s-edfokú polinom és egy egység, hogy . Ekkor , így s rendű -kitüntetett.
Teljes lokális gyűrű feletti formális hatványsorok Kommutatív gyűrűk Legyen egy teljes kommutatív lokális Noether-gyűrű maximális ideállal és pozitív p karakterisztikájú maradéktesttel. Ilyen például a p-adikus egészek gyűrűje, vagy általánosabban az egészek gyűrűje a p-adikus számok testének valamely véges bővítésében.
Legyen továbbá az feletti egyváltozós hatványsorok gyűrűje.
A Weierstrass-maradékososztási tétel ebben az esetben a következő: Legyenek hatványsorok úgy, hogy , és legyen n a legnagyobb olyan egész szám, amire . Ekkor egyértelmű létezik olyan hatványsor és legfeljebb fokú polinom, hogy .
A gyűrűben egy polinomot kitüntetettnek nevezünk, ha 1 főegyütthatójú és minden további együtthatója -ben van.
A Weierstrass-előkészítésitétel a következő: Legyen . Ekkor egyértelműen létezik egy g kitüntetett polinom és egy egység úgy, hogy . Speciálisan ha egy főideál, akkor bármely egyértelműen felírható
szorzatként, ahol g és u a fenti feltételeket teljesítik.
A Weierstrass-maradékososztás gyengébb az euklideszi algoritmusnál, mert g nem választható a gyűrű tetszőleges nemnulla elemének. Ugyanakkor analógiában azzal, hogy bármely euklideszi gyűrű alaptételes, igaz a következő: Ha főideálgyűrű, akkor alaptételes.
Az alakú gyűrűk fontos szerepet játszanak az Iwasawa-elméletben, ahol ezeket (más hasonló gyűrűkkel együtt) Iwasawa-algebráknak nevezik. Az Iwasawa-elmélet alapvető fontosságú tétele az Iwasawa-algebrák feletti végesen generált modulusok struktúratétele. Ez a főiedálgyűrű feletti végesen generált modulusok struktúratételéhez hasonló állítás, és a bizonyítása is jelentős részben hasonlít a főidelgyűrűk feletti állításéra. A bizonyításban szerepet játszik a Weierstrass-maradékososztás is.
Nemkommutatív gyűrűk Kommutatív gyűrű feletti formális hatványsorok helyett vizsgálható egy nemkommutatív gyűrű feletti ferde hatványsorok gyűrűje is. Ennek definíciója a következő. Legyen R egy nem feltétlenül kommutatív gyűrű, egy endomorfizmus, pedig egy -deriválás, azaz egy olyan csoporthomomorfizmus, amire minden -re. Az R feletti ferde formális hatványsorok gyűrűje mint halmaz a formális hatványsorok gyűrűjéből áll, az összeadás tagonként történik, a szorzás pedig az
szabály szerint. Könnyen látható, hogy ha az identitás, pedig azonosan nulla, akkor .
Ha R egy nem feltétlenül kommutatív lokális gyűrű, ami Hausdorff és teljes a maximális ideál által meghatározott topológiára nézve, akkor az R feletti ferde formális hatványsorok gyűrűjére általánosíthatók a kommutatív eset Weierstrass-maradékososztási és -előkészítési tételek.
Jegyzetek
Források
Kategória:Absztrakt algebra Kategória:Komplex analízis