Az értelmezés a formális nyelv szimbólumaihoz való jelentés hozzárendelése. A matematikában, a logikában és az elméleti számítástechnikában használt számos formális nyelvet kizárólag szintaktikai kifejezésekkel határozzák meg, és mint ilyenek, nincs jelentésük, amíg nem kapnak valamilyen értelmezést.
A leggyakrabban tanulmányozott formális logikák a propozíciós logika, a predikátumlogika és ezek modális analógiája, és ezekre vannak szabványos értelmezési módok. Ezekben az összefüggésekben az értelmezés egy olyan függvény, amely egy objektumnyelv szimbólumainak és szimbólumsorainak kiterjesztését biztosítja. Például egy értelmező függvény felveheti a T predikátumot (a "tall"-hez), és hozzárendelheti az {a} kiterjesztést. ("Abraham Lincoln"-hoz). Vegyük észre, hogy értelmezésünk csak annyit tesz, hogy hozzárendeli az {a} kiterjesztést a T nem logikai konstanshoz, és nem állítja, hogy T a magas, az 'a' pedig Abraham Lincolnt jelenti-e. A logikai értelmezésnek nincs mondanivalója az olyan logikai összefüggésekről sem, mint az „és”, „vagy” és „nem”. Bár ezeket a szimbólumokat bizonyos dolgok vagy fogalmak jelölésére vehetjük, ezt nem az értelmezési funkció határozza meg.
Egy értelmezés gyakran (de nem mindig) módot ad egy nyelv mondatainak igazságértékének meghatározására. Ha egy adott értelmezés True értéket rendel egy mondathoz vagy elmélethez, az értelmezést az adott mondat vagy elmélet modelljének nevezzük.
Formális nyelvek A formális nyelv mondatok (más néven szavak vagy formulák) végtelen halmazából áll, amelyeket betűk vagy szimbólumok rögzített halmazából építenek fel. A leltárt, amelyből ezek a betűk származnak, ábécének nevezzük, amelyen a nyelvet meghatározzák. Annak érdekében, hogy megkülönböztessük a formális nyelvben lévő szimbólumsorokat a tetszőleges karakterláncoktól, az előbbieket néha jól formált formulának (wff) nevezik. A formális nyelv lényeges jellemzője, hogy szintaxisa értelmezésre való hivatkozás nélkül definiálható. Megállapíthatjuk például, hogy (P vagy Q) jól formált képlet, még akkor is, ha nem tudjuk, hogy igaz vagy hamis.
Példa Egy formális nyelv az ábécével határozható meg , és egy szóval ha azzal kezdődik és kizárólag a szimbólumokból áll és .
egy lehetséges értelmezése hozzárendelheti az „1” decimális számjegyet a szimbólumhoz és a '0'-t a -hez. Akkor 101-et jelölne ezen értelmezés szerint -ben.
Logikai állandók A propozíciós logika és az állítmánylogika speciális eseteiben a vizsgált formális nyelvek ábécéi két csoportra oszlanak: a logikai szimbólumokra (logikai állandókra) és a nem logikai szimbólumokra. E terminológia mögött az az elgondolás áll, hogy a logikai szimbólumoknak ugyanaz a jelentése, függetlenül a vizsgált tárgytól, míg a nem logikai szimbólumok jelentése a vizsgált területtől függően változik.
A logikai konstansok mindig ugyanazt a jelentést kapják a standard fajták minden értelmezésénél, így csak a nem logikai szimbólumok jelentése változik meg. A logikai állandók közé tartoznak a ∀ ("mind") és ∃ ("néhány") kvantor szimbólumok, a ∧ ("és"), ∨ ("vagy"), ¬ ("nem"), zárójelek és egyéb csoportosító szimbólumok, és (sok kezelésben) az egyenlőség szimbólum =.
Az igazság-funkcionális értelmezések általános tulajdonságai Az általánosan tanulmányozott értelmezések közül sok a formális nyelv minden mondatát egyetlen igazságértékkel társítja, akár igaz, akár hamis. Ezeket az értelmezéseket igazságfunkcionálisnak nevezzük; tartalmazzák a propozíciós és az elsőrendű logika szokásos értelmezéseit. Azokat a mondatokat, amelyeket egy adott feladat igazzá tesz, azt mondjuk, hogy az adott feladat teljesíti.
A klasszikus logikában egyetlen mondatot sem lehet igazzá és hamissá tenni ugyanazzal az értelmezéssel, bár ez nem igaz az olyan glut logikákra, mint például az LP. Még a klasszikus logikában is előfordulhat azonban, hogy ugyanannak a mondatnak az igazságértéke különböző értelmezések esetén eltérő lehet. Egy mondat akkor konzisztens, ha legalább egy értelmezés szerint igaz; különben inkonzisztens. Egy φ mondatot akkor mondunk logikailag érvényesnek, ha minden értelmezés kielégíti (ha φ-t minden ψ-t kielégítő értelmezés kielégíti, akkor φ-t ψ logikai következményének nevezzük).
Logikai kapcsolatok A nyelv egyes logikai szimbólumai (a kvantorok kivételével) igazságfüggvények, amelyek igazságfüggvényeket képviselnek – olyan függvények, amelyek az igazságértékeket veszik fel argumentumként, és az igazságértékeket adják vissza kimenetként (más szóval, ezek a mondatok igazságértékeire vonatkozó műveletek).
Az igazság-funkcionális konnektívumok lehetővé teszik az összetett mondatok egyszerűbb mondatokból történő felépítését. Ily módon az összetett mondat igazságértékét az egyszerűbb mondatok igazságértékeinek bizonyos igazságfüggvényeként határozzuk meg. A konnektívumokat általában logikai konstansoknak tekintjük, ami azt jelenti, hogy a konnektívumok jelentése mindig ugyanaz, függetlenül attól, hogy a képlet többi szimbólumát milyen értelmezésekkel értelmezzük.
Így definiáljuk a logikai konnektívumokat a propozíciós logikában:
¬Φ igaz, ha Φ hamis. (Φ ∧ Ψ) igaz, ha Φ igaz és Ψ igaz. (Φ ∨ Ψ) igaz, ha Φ igaz, vagy Ψ igaz (vagy mindkettő igaz). (Φ → Ψ) igaz, ha ¬Φ igaz, vagy Ψ igaz (vagy mindkettő igaz). (Φ ↔ Ψ) igaz, ha (Φ → Ψ) igaz, és (Ψ → Φ) igaz.
Tehát az összes Φ és Ψ mondatbetű adott értelmezése mellett (vagyis miután minden igazságértékekhez igazságértékeket rendelünk) meg tudjuk határozni az összes olyan képlet igazságértékét, amelynek alkotóelemei a logikai konnektívumok függvényében. A alábbi táblázatban láthatjuk, hogyan is néz ez ki. Az első két oszlop a mondatbetűk igazságértékeit mutatja a négy lehetséges értelmezés szerint. A többi oszlop az ezekből a mondatbetűkből összeállított formulák igazságértékeit mutatja, rekurzív módon meghatározott igazságértékekkel. +Logikai kapcsolatok Értelmezés Φ Ψ ¬Φ (Φ ∧ Ψ) (Φ ∨ Ψ) (Φ → Ψ) (Φ ↔ Ψ) #1 T T F T T T T #2 T F F F T F F #3 F T T F T T F #4 F F T F F T T Most már könnyebben látható, hogy mitől válik logikailag érvényessé egy képlet. Vegyük az F képletet: (Φ ∨ ¬Φ). Ha az értelmezési függvényünk Φ-t igaz, akkor ¬Φ-t a tagadó konnektív hamissá teszi. Mivel az F diszjunkt Φ ebben az értelmezésben igaz, F igaz. Most a Φ egyetlen másik lehetséges értelmezése hamissá teszi, és ha igen, akkor ¬Φ-t a negációs függvény igazzá teszi. Ezzel F ismét igaz lenne, mivel az Fs diszjunkciók egyike, a ¬Φ igaz lenne ebben az értelmezésben. Mivel F-nek ez a két értelmezése az egyetlen lehetséges logikai értelmezés, és mivel F mindkettőre igaz, azt mondjuk, hogy logikailag érvényes vagy tautológ.
Egy elmélet értelmezése Az elmélet értelmezése egy elmélet és valamilyen tárgy közötti kapcsolat, amikor az elmélet egyes elemi állításai és a tárgyhoz kapcsolódó bizonyos állítások között sok-sok egyezés van. Ha az elméletben minden elemi állításnak van megfelelője, azt teljes értelmezésnek nevezzük, egyébként pedig részleges értelmezésnek
Értelmezések a propozíciós logikához A propozíciós logika formális nyelve propozíciós szimbólumokból (más néven mondatszimbólumokból, mondatváltozókból, propozíciós változókból) és logikai konnektívumokból felépített formulákból áll. A propozíciós logika formális nyelvében az egyetlen nem logikai szimbólumok a propozíciós szimbólumok, amelyeket gyakran nagybetűkkel jelölnek. A formális nyelv pontosításához rögzíteni kell a propozíciós szimbólumok egy meghatározott halmazát.
A standard értelmezés ebben a beállításban egy olyan függvény, amely minden propozíciós szimbólumot leképez az igaz és hamis igazságértékek egyikére. Ezt a függvényt igazság-hozzárendelésnek vagy értékelési függvénynek nevezik. Sok prezentációban a szó szoros értelmében egy igazságértéket rendelnek hozzá, de egyes prezentációk ehelyett igazsághordozókat rendelnek hozzá.
Egy n különálló propozíciós változóval rendelkező nyelvnek 2n különböző lehetséges értelmezése van. Egy adott a változóra például 21=2 lehetséges értelmezés: 1) a hozzá van rendelve T, vagy 2) a hozzá van rendelve F. Az a, b párhoz 22=4 lehetséges értelmezés: 1) mindkettő hozzárendelt T, 2) mindkettőhöz F, 3) a hozzá van rendelve T és b hozzá van rendelve F, vagy 4) a hozzá van rendelve F és b hozzá van rendelve T.
Tekintettel arra, hogy a propozíciós szimbólumok készletéhez bármilyen igazság-hozzárendelést kapunk, az e változókból felépített összes propozíciós képlet értelmezésének egyedi kiterjesztése van. Ezt a kiterjesztett értelmezést induktív módon definiáljuk, a logikai konnektívumok fentebb tárgyalt igazságtáblázati definícióit felhasználva.
Elsőrendű logika A propozíciós logikától eltérően, ahol minden nyelv ugyanaz, eltekintve a kijelentésváltozók eltérő halmazától, sok különböző elsőrendű nyelv létezik. Minden elsőrendű nyelvet aláírás határozza meg. Az aláírás nem logikai szimbólumok halmazából áll, és ezen szimbólumok mindegyikének konstans szimbólumként, funkciószimbólumaként vagy predikátumszimbólumként történő azonosításából áll. Függvény- és predikátumszimbólumok esetén természetes számaritást is hozzárendelünk. A formális nyelv ábécéje logikai konstansokból, az egyenlőségi reláció szimbólumából =, az aláírás összes szimbólumából és egy további végtelen szimbólumkészletből áll, amelyeket változókként ismerünk.
Például a gyűrűk nyelvében van 0 és 1 konstans szimbólum, két + és · bináris függvényszimbólum, és nincs bináris reláció szimbólum. (Itt az egyenlőségi relációt logikai állandónak vesszük).
Ismét definiálhatunk egy elsőrendű L nyelvet, amely egyedi a, b és c szimbólumokból áll; predikátumszimbólumok F, G, H, I és J; változók x, y, z; nincs funkcióbetű; nincsenek szentenciális szimbólumok.
Formális nyelvek az elsőrendű logikához Adott egy σ aláírás, a megfelelő formális nyelvet σ-képletek halmazaként ismerjük. Mindegyik σ-képlet atomi formulákból épül fel logikai konnektívumok segítségével; Az atomképletek predikátumszimbólumokat használó kifejezésekből épülnek fel. A σ-képletek halmazának formális definíciója a másik irányba halad: először a konstans- és függvényszimbólumokból, a változókkal együtt tagokat állítunk össze. Ezután a kifejezések atomformulává kombinálhatók az aláírásból származó predikátumszimbólum (relációszimbólum) vagy az egyenlőségre vonatkozó "=" speciális predikátumszimbólum használatával (lásd lent az "Egyenlőség értelmezése" részt). Végül a nyelv képleteit atomi formulákból állítjuk össze a logikai konnektívumok és kvantorok segítségével.
Egy elsőrendű nyelv értelmezései Ahhoz, hogy egy elsőrendű nyelv összes mondatának jelentését tulajdoníthassunk, a következő információkra van szükség.
A diskurzus tartománya Sometimes called the "universe of discourse" D, általában nem kell üresnek lennie (lásd alább). Minden konstans szimbólumhoz a D egy eleme, mint annak értelmezése. Minden n -es függvényszimbólumhoz egy n -áris függvény D-től D – ig értelmezéseként (azaz egy D n függvény → D ). Minden n -áris predikátumszimbólumhoz egy n -áris reláció D -n, mint értelmezése (vagyis D n egy részhalmaza).
Az az objektum, amely ezt az információt hordozza, hívhatjuk struktúrának (σ jelzéssel), σ-struktúrának, L -struktúrának (L nyelvnek) vagy "modell"-nek is.
Az értelmezésben megadott információ elegendő információt szolgáltat ahhoz, hogy bármely atomi képletnek igazságértéket adjon, miután annak minden létező szabad változóját a tartomány egy elemével helyettesítették. A T-séma segítségével, amely az Alfred Tarski által kidolgozott elsőrendű szemantika definíciója, egy tetszőleges mondat igazságértékét ezután induktív módon definiáljuk. Ez utóbbi a logikai konnektívumokat igazságtáblázatok segítségével értelmezi, amint azt fentebb tárgyaltuk. Így például akkor és csak akkor teljesül, ha φ és ψ is teljesül.