A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, mely egy kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszerből származtatható úgy, hogy a koordináta-rendszert a fókuszokat összekötő szimmetriatengely körül forgatjuk meg. A másik szimmetriatengely körüli forgatás lapított ellipszoid koordináta-rendszert eredményez. Mindkettő tekinthető az ellipszoid koordináta-rendszer egy speciális esetének, ahol két tengely hossza megegyezik.
A lapított koordináta-rendszer hasznos olyan differenciálegyenletek megoldásában, ahol a peremfeltételeket egy nyújtott ellipszoid vagy egy kétköpenyű forgáshiperboloid mentén határozzák meg. Ilyen rendszer alakul ki egy erőtérben, mint amilyet két központ produkál; ezek állnak a fókuszpontokban. Erre példa egy elektron hullámfüggvényének meghatározása két pozitívan töltött mag közelében, mint például a H2+ összetett ionban. A fókuszpontban állhatnak vékony elektródvégek is, az ezek által létrehozott erőtér szerkezete így meghatározható. További példák: egy szakasz (μ = 0) erőtere, vagy egy egyenes, amiből hiányzik egy szakasz. A sokelektronos kétatomos molekulák általános elektronszerkezete is kiváló pontossággal megismerhető a nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer segítségével.
Definíció
A legtöbbször használt nyújtott ellipszoid koordináta-rendszert a koordinátákkal látják el:
ahol nemnegatív valós szám, és . A azimut a szakasz eleme.
A
trigonometrikus azonosság szerint a konstans -höz tartozó koordinátafelületek nyújtott ellipszoidok, hiszen ellipszisekből keletkeztek azok fókuszait összekötő egyenesek körüli forgatással. Hasonlóan, a
hiperbolikus-trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans -jű koordinátafelületek forgáshiperboloidok.
A pontokban elhelyezkedő fókuszoktól mért távolság:
Alternatív definíció A nyújtott elliptikus koordináta-rendszer esetén létezik egy alternatív definíció is a koordinátákkal, ahol és . Itt a konstans -hoz tartozó koordinátafelületek nyújtott ellipszoidok, míg a konstans koordinátafelületei teljes forgáshiperboloidok. A koordináta az [−1, 1] intervallum eleme, míg .
A és a koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az és fókuszoktól mért távolsággal. Bármely pontra a fókuszoktól mért távolság összege a összeg , míg a távolságok különbsége . Így az -től mért távolság , míg az -től vett távolság . Ez alapján kapjuk a következő összefüggéseket a , és koordinátákra:
Szemben a megfelelő lapított szferoid koordinátákkal, a (σ, τ, φ) koordináta-rendszer nem elfajult; más szóval, bijektíven megfeleltethető a Descartes-koordinátákkal:
Alternatív skálázási tényezők Az alternatív koordináták skálázási tényezői:
míg az azimut skálázási tényezője
Így az infinitezimális térfogatelem:
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Ahogy a gömbkoordináták esetén, Laplace egyenlete megoldható a változók szétválasztásával. A megoldások pontosan a nyújtott ellipszoid harmonikus függvények, melyeket kényelmes akkor használni, ha a peremfeltételek a nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer egy koordinátafelületén vannak megadva.
Jegyzetek
Források
Uses ξ1 = a cosh μ, ξ2 = sin ν, and ξ3 = cos φ. Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
Uses coordinates ξ = cosh μ, η = sin ν, and φ.
Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates. Similar to Korn and Korn (1961), but uses colatitude θ = 90° - ν instead of latitude ν. Moon and Spencer use the colatitude convention θ = 90° − ν, and rename φ as ψ.
Treats the prolate spheroidal coordinates as a limiting case of the general ellipsoidal coordinates. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared. Fordítás
Kategória:Analitikus geometria