A bipoláris hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből származtatható a harmadik, z tengely menti eltolással. Az és fókuszegyenesekre teljesül a Descartes-féle koordináta-rendszerben, hogy rendre és , illetve .
Bipolárisnak neveznek olyan görbéket is, melyeknek két fókuszpontjuk van, mint ellipszisek, hiperbolák és Cassini-oválisok. Azonban nem nevezik bipolárisnak az ezeken az alakzatokon alapuló koordináta-rendszereket, mint például az elliptikus koordinátákat.
Alapvető definíciók A bipoláris hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:
ahol egy pont koordinátája egyenlő a szöggel, és a koordináta a pont fókuszoktól mért távolságainak arányának természetes logaritmusa. A továbbiakban a távolságot , míg a távolságot jelöli. Ezzel a koordináta:
Skálázási tényezők A és bipoláris koordináták skálázási tényezője megegyezik:
illetve a koordináta skálázási tényezője . Így az infinitezimális térfogatelem
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Alkalmazások A bipoláris hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének vagy a Heimholtz-egyenlet, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását két dimenzióban. Egy példa a két, különböző átmérőjű hengeres elektromos vezető elektromos mezője.
Források
MathWorld description of bipolar cylindrical coordinates Fordítás
Kategória:Analitikus geometria