Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami a kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer harmadik, merőleges tengely menti vetítésével kapható. Koordinátafelületei elliptikus és hiperbolikus hengerek. Az és fókuszokat az adott Descartes-féle koordináta-rendszer -tengelyén veszik fel, rendre a és pontokban.
Alap definíciók A elliptikus hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:
ahol nemnegatív valós szám, és . Ezek a definíciók ellipsziseknek és hiperboláknak felelnek meg. Az
trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans -höz tartozó görbék ellipszisek, míg az
trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans -höz tartozó görbék hiperbolák. Skálázási tényezők A és elliptikus hengerkoordináták skálázási tényezői megegyeznek:
és a harmadik skálázási tényező . Eszerint az infinitezimális térfogatelem:
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Alternatív definíció Néha egy másik koordinátahármast használnak, ami geometriailag is intuitív. Megkülönböztetésül jelölésük , és kaphatók, mint és . A konstans -hoz tartozó görbék ellipszisek, a konstans -hoz tartozók hiperbolák. A koordináta a [-1, 1] intervallum eleme, míg a koordináta legalább 1.
A koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az és fókuszoktól mért távolsággal. Az (x,y) sík pontjaira teljesül, hogy a fókuszoktól mért távolságösszeg egyenlő -val, míg a különbség megegyezik -val. Így az -től mért távolság , az -től mért távolság .
Az alternatív definíció hátránya: nem lehet egy-egyértelműen megfeleltetni a Decartes-koordinátarendszerrel:
Alternatív skálázási tényezők A alternatív koordináták skálázási tényezői:
és . Az infinitezimális térfogatelem
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Alkalmazások Az elliptikus hengerkoordináta-rendszert hagyományosan parciális differenciál-egyenletek megoldására használják, például Laplace egyenletének vagy a Helmholtz-egyenlet megoldására, ahol is az elliptikus hengerkoordináta-rendszer lehetővé teszi a változók szétválasztását. Egy tipikus példa egy vastagságú lapos vezető lap elektromos mezője.
A háromdimenziós hullámegyenlet elliptikus hengerkoordinátákkal kifejezve megoldható a változók szétválasztásával, ami a Mathieu-differenciálegyenleteket adja.
Az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is hasznosak lehetnek. Egy tipikus példa azokon a and vektorpárokon vett integrál, melyek összege egy rögzített vektor, az integrandus pedig and . Ekkor a koordináta-rendszert úgy veszik fel, hogy a két fókusz közé essen, és az -tengelyen helyezkedjen el, vagyis . Az , és vektorok reprezentálhatják egy részecske és dekompozíciójának momentumát, és az integrandus magában foglalja a mozgási energiát. Források
Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
Fordítás
Kategória:Analitikus geometria