Kocka

A kocka (vagy szabályos hexaéder) egy térbeli geometriai alakzat, egy speciális téglatest. 6 négyzet alakú lapja és 12 egyenlő hosszúságú éle van, amelyek 8 csúcsban találkoznak. A négyzet térbeli megfelelője. Hasáb, szabályos test.

Matematikai összefüggések Egy élű kocka esetén

felszíne térfogata beírható gömb sugara köréírható gömb sugara éleit érintő gömb sugara

Szimmetriái A kockának három négyfogású forgástengelye (szemben fekvő oldalak középpontjain át) négy háromfogású forgástengelye (testátlók) hat kétfogású forgástengelye (élfelező pontokon át) kilenc szimmetriasíkja egy szimmetriaközéppontja (középpont)

van.

Az identitást leszámítva a négyfogású tengelyek három-három, a háromfogású tengelyek két-két szimmetriát adnak. Összesen a kocka szimmetriacsoportjának 48 eleme van. Ez a kocka- vagy oktaédercsoport. Descartes-koordináták Egy origó közepű, 2 élhosszú, a tengelyekkel párhuzamos élű kocka csúcsainak koordinátái:(±1, ±1, ±1), aminek belsejét azok az (x0, x1, x2) pontok alkotják, ahol −1 < xi < 1.

Egyenlet R3-ben A koordináta-geometriában az (x0, y0, z0) közepű és 2a élhosszú kocka azokat az (x, y, z) pontokat tartalmazza, amelyekre:

Mértani arányok

A kockának 11 lényegesen különböző testhálója van, csak úgy, mint duálisának, az oktaédernek. A lapok színezéséhez legalább 3 szín kell.

A kocka az egyetlen szabályos test, amivel a tér hiánytalanul kitölthető. A szabályos poliéderek között egyedül neki vannak páros oldalszámú lapjai, így az egyetlen platóni test, ami zonoéder, vagyis aminek minden lapja középpontosan szimmetrikus. Kocka kontra oktaéder A kocka duális poliédere az oktaéder.

A kocka és az oktaéder segítségével további testek konstruálhatók, amiknek szintén az oktaédercsoport a szimmetriacsoportja: csonkított kocka, hat nyolcszög- és nyolc háromszöglappal kuboktaéder hat négyzet- és nyolc háromszöglappal. A rektifikált kocka kuboktaéder. csonkított oktaéder hat négyzet- és nyolc hatszöglappal

Kocka és oktaéder egyesítéseként kapható a rombododekaéder 14 csúccsal és 12 rombuszlappal Az egységnyi élhosszú kocka duális oktaéderének élhossza .

+ Uniform oktaéderes poliéderekSzimmetria: oktaéderes [4,3], (*432)[4,3]+(432)[1+,4,3] = [3,3](*332)[3+,4](3*2){4,3}t{4,3}r{4,3}r{31,1}t{3,4}t{31,1}{3,4}{31,1}rr{4,3}s2{3,4}tr{4,3}sr{4,3}h{4,3}{3,3}h2{4,3}t{3,3}s{4,3}s{31,1}40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px30px30px30px30px40px40pxAz uniform poliéderek duálisaiV43V3.82V(3.4)2V4.62V34V3.43V4.6.8V34.4V33V3.62V3540px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px

A Dih4 diéderszimmetriával a kocka topológiai kapcsolatban áll a 4.2n.2n uniform poliéderekkel és parkettázásokkal, amelyek a hiperbolikus síkon folytatódnak:

+ A 4.2n.2n csonkított poliéderek és parkettázások családjaSzimmetria*n42[n,4]GömbiEuklidesziHiperbolikus...*242[2,4]D4h*342[3,4]Oh*442[4,4]P4m*542[5,4]*642[6,4]*742[7,4]*842[8,4]...*∞42[∞,4]Csonkítottalakzatok 60px4.4.4 60px4.6.6 60px4.8.8 60px4.10.10 60px4.12.12 60px4.14.14 60px4.16.16 60px4.∞.∞Uniform duális alakzatokn-kiszalakzatok60pxV4.4.460pxV4.6.660pxV4.8.860pxV4.10.1060pxV4.12.1260pxV4.14.1460pxV4.16.1660pxV4.∞.∞

Mindezek oktaéderes szimmetriájúak.

Kapcsolatai más poliéderekkel thumb|200px|right|Kocka és duálisa 200px|thumb|A félkocka egy szabályos projektív test

A kocka egy tetszőleges csúcsát összekötve az ebben a csúcsban összefutó négyzetlapok nem szomszédos csúcsaival, szabályos tetraédert kapunk. Egy ilyen tetraéder térfogata a kocka térfogatának egyharmadát teszi ki. A maradék négy egybevágó, nem szabályos gúla (szintén tetraéder) térfogata egyenként a kocka térfogatának hatoda. A kocka csúcsai ily módon két, egymáshoz képest középpontosan szimmetrikus szabályos tetraédert határoznak meg. (Ezek metszete oktaéder.) A kocka hat négyzet alapú gúlára osztható úgy, hogy szimmetriaközéppontját a csúcsokkal összekötő szakaszok mentén szétvágjuk. Ha ezeket egy másik kocka lapjaihoz illesztjük, akkor rombododekaédert kapunk.

A kocka dodekaéderbe írható úgy, hogy a kocka csúcsai a dodekaéder csúcsaira illeszkednek, és a kocka élei a dodekaéder lapátlói.

Az antipodális leképezés egy félkockát ad, ami egy projektív poliéder.

A kocka több általánosabb poliédernek is speciális esete:

NévEgyenlő élhosszakEgyenlő élekDerékszögekKockaigenigenigenRomboéderigenigennemKuboidnemigenigenParalelepipedonnemigennemÁltalános négyszöglapú hexaédernemnemnem

A kocka topológiai kapcsolatban áll a 3 csúcsalakzatú gömbi poliéderekkel és parkettázásokkal:

GömbipoliéderekSzabályos poliéderekEuklidesziHiperbolikus parketták50px{2,3}{3,3}{4,3}{5,3}{6,3}50px{7,3}50px{8,3}...50px(∞,3)

A kocka kapcsolódik a négyzetes parkettázásokhoz is, amelyek a hiperbolikus síkon folytathatók: {4,p}, p=3,4,5...

{4,3}{4,4}{4,5}{4,6}{4,7}{4,8}...60px{4,∞}

A kocka a rombikus poliéderek és csempézések azon sorozatába is beletartozik, amelynek szimmetriája az [n,3] Coxeter-csoport. A kocka tekinthető rombikus hexaédernek, ahol a rombuszok négyzetek.

+ A 3.n.3.n félig szabályos poliéderek és csempézések családjaSzimmetria*n32[n,3]GömbiEuclideanHiperbolikus parketta*332[3,3]Td*432[4,3]Oh*532[5,3]Ih*632[6,3]p6m*732[7,3]*832[8,3]*∞32[∞,3]Félig szabályosalakzatokKonfiguráció]60px3.3.3.360px3.4.3.460px3.5.3.560px3.6.3.660px3.7.3.760px3.8.3.860px3.∞.3.∞Duaális(rombikus)alakzatokKonfiguráció60pxV3.3.3.360pxV3.4.3.460pxV3.5.3.560pxV3.6.3.660pxV3.7.3.760pxV3.8.3.860pxV3.∞.3.∞

A kocka négyzet alapú hasáb:

+ Az uniform hasábok családjaSzimmetria3456789101112Kép40pxGömbi poliéderkéntKép

Trigonális trapezoéderként a kocka beletartozik a hatszöges diéderszimmetriájú poliéderek családjába.

+ Uniform hatszöges gömbi poliéderekSzimmetria: diéder [6,2], (*622)[6,2]+, (622)[1+,6,2], (322)[6,2+], (2*3) 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px{6,2}t{6,2}r{6,2}2t{6,2}=t{2,6}2r{6,2}={2,6}rr{6,2}tr{6,2}sr{6,2}h{6,2}s{2,6}Uniform duálisok 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50px 50pxV62V122V62V4.4.6V26V4.4.6V4.4.12V3.3.3.6V32V3.3.3.3

+ A kocka szabályos és uniform összetett testeiHárom kockaÖt kocka

Térkitöltések A tér 28 konvex uniform rácsszerkezete közül 9 kapcsolódik a kockához:

KockarácsCsonkított négyzetes hasáb térrácsSnub négyzetes hasáb térrácsHosszú háromszöges hasáb térrácsForgatva nyújtott háromszöges hasáb térrács100px100px100px100px100pxCantellated kockarácsÉlcsonkított kockarácsRuncitruncated kockarácsRuncinated alternated kockarács100px100px100px100px

Merőleges vetületei A kockának négy merőleges vetülete van, aminek középpontja csúcs, élfelező, lapközéppont és a csúcsalakzatának normálisa. Az első és a harmadik rendre megfelel az A2 és a B2 Coxeter-síkoknak.

+ Merőleges vetületekKözéppontLapcsúcsCoxeter-síkB2100pxA2100pxProjektívszimmetriaNézetek100px100px

Általánosítása

A kocka tetszőleges dimenziós analogonjait szintén kockának nevezik. Ezek is szabályos politópok. Az n dimenziós kockának darab k dimenziós határoló lapja van. Speciálisan, egydimenziós kocka (szakasz): 2 csúcs, 1 él kétdimenziós kocka (négyzet): 4 csúcs, 4 él, 1 lap négydimenziós kocka (tesszerakt): 16 csúcs, 32 él, 24 lap, 8 térlap n dimenziós kocka: csúcs, él, lap, térlap, és oldal

Az n dimenziós kocka egy modellje az Rn vektortérbeli In egységkocka.

Az egységkocka

, az egységintervallum n-szeres Descartes-szorzata a 2n csupa 0 - 1 koordinátájú pont konvex burka a 2n és a alakú féltér metszete

Az egységkocka élhossza 1, élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és egyik csúcsa az origó.

A kocka egy másik modellje az a kocka, aminek csúcsai a (±1, ±1,... ±1) Descartes-koordinátájú pontok. Ennek a belseje azokból a pontokból áll, amik összes koordinátájára −1 < x i < 1.

A kocka öt négy dimenziós uniform politópot határol:

Tesszerakt, hiperkockaCantellated 16-cellaRuncinated tesszeraktCantitruncated 16-cellaRuncitruncated 16-cella100px100px100px100px100px

A kombinatorikában Egy másik fajta kocka a kockagráf. Ennek csúcsai a kocka csúcsainak, élei a kocka éleinek felelnek meg. Általánosítása a hiperkockagráf.

Egy másik általánosítás a háromdimenziós Hamming-gráf. A kockagráf a d = 2 esetnek felel meg. A Hamming-gráfokat és a hiperkocka gráfokat a párhuzamos programozásban használják ahhoz, hogy az egyes processzorok elég jól össze legyenek kötve, és az elméletek számára is könnyen kezelhető architektúrát adjanak.

Legyen S q elemű halmaz, és d pozitív egész. A H(d,q) Hamming-gráf csúcsai az S halmaz elemeinek d-esei. Két csúcs szomszédos akkor és csak akkor, ha egy koordinátában különböznek.

Előfordulása, alkalmazásai

150px|bélyegkép|jobb|Rubik-kocka A kubán nevű szerves vegyület váza kocka alakú. Erről is kapta a nevét (angol: cube). Legismertebb alkalmazása a hagyományos dobókocka. A szerepjátékokban, ahol más dobótesteket is használnak, K6 néven emlegetik. Rubik Ernő világhírű találmánya szintén kocka alakú. A köznyelvben a kétdimenziós, négyzethálós mintát is kockásnak nevezik. Például kockás füzet, kockás ing, kockás piton.

Források A kocka és a kocka testhálójának különféle ábrázolásai Kockarejtvények Magasabb dimenziós kockák interaktív ábrázolása

Interaktív kockamodell K.J.M. MacLean, Az öt szabályos test és a többi félig szabályos test geometriai elemzése Uniform poliéderek Poliéderek a virtuális valóságban A kocka térfogata interaktív animációval