A nullvektortér a matematikában egy vektortér, ami egyetlen vektort tartalmaz elemként, a nullvektort. Izomorfia erejéig az egyetlen nulla dimenziós vektortér, melynek bázisa az üres halmaz. Minden vektortér tartalmaz nullvektorteret legkisebb altereként. Vektorterek direkt összegében, illetve direkt szorzatában a nullvektortér neutrális elem. Adott test fölötti vektorterek kategóriájában a nullvektortér a nullobjektum.

Definíció A nullvektortér egy tetszőleges test fölötti vektortér, ami az egyetlen vektorból áll. Az egyetlen lehetséges összeadás:

és az egyetlen lehetséges skalárral szorzás:

minden skalárra. Így a vektor neutrális elem az összeadásra, és nullvektornak nevezzük. Tulajdonságok Vektortér-axiómák A nullvektortér eleget tesz a vektorterek axiómáinak: Abel-csoport, mégpedig a triviális csoport a skalárral szorzásra teljesül az asszociativitás, illetve a disztributivitás:

az elem neutrális:

Bázis és dimenzió A nullvektortér egyetlen bázisa az üres halmaz, mivel az üres halmaz lineáris burkára teljesül, hogy:

.

Így a nullvektortér dimenziója:

.

Megfordítva, bármely test fölötti nulldimenziós vektortér izomorf a nullvektortérrel. Altérként Ha tetszőleges vektortér a test fölött, akkor van egy egyértelműen meghatározott neutrális eleme, a . Az halmaz altere -nek, mivel nem üres, és zárt a vektoriális összeadásra, illetve skalárral szorzásra:

minden esetén

Ezzel a tér, mint minden egyelemű vektortér, izomorf a nullvektortérrel, és nullvektorterének nevezik. Mivel egy vektortér nem lehet üres, azért ez a legkisebb lehetséges altere egy vektortérnek. Egy vektortér két komplementer alterének, -nek és -nek a metszete:

. Összegek és szorzatok A nullvektortér a vektorterek direkt összegére és direkt szorzatára vonatkozóan a nullvektortér neutrális elem, vagyis minden vektortérben:

  illetve   .

Ezzel szemben a tenzorszorzásban elnyelő tulajdonságú, azaz:

.

Kategóriaelmélet

Az egy adott test fölötti vektorterek kategóriájában a lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal a nullvektortér nullobjektum: minden vektortérből pontosan egy lineáris leképezés megy a nullvektortérbe, és a nullvektortérből minden vektortérbe egyetlen lineáris leképezés megy: ami mindenhez a nullvektort rendeli. Ez a nullfüggvény, ami egyúttal a nullmorfizmus. Forrás

Fordítás

Kategória:Lineáris algebra