Egy skalárszorzat által indukált norma, skalárszorzatos norma, röviden skalárszorzatnorma a matematikában egy olyan norma, mely számítható skalárszorzatból. Véges dimenziós valós vagy komplex skalárszorzatos vektorterekben ez éppen az euklideszi norma. Általában minden prehilberttérben van skalárszorzatból származó norma, amivel a prehilberttér normált tér. Egy norma pontosan akkor származik skalárszorzatból, hogyha teljesíti a paralelogrammaazonosságot. Emellett a skalárszorzatból származó normák teljesítik a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, és invariánsak az unitér transzformációkra.
Definíció Ha vektortér a valós vagy komplex számok teste felett, ellátva a skalárszorzattal, akkor skalárszorzatos vektortér. Ekkor egy vektor normája:
,
vagyis a vektor önmagával vett skalárszorzatának négyzetgyöke. Ezzel a norma jóldefiniált, mivel a vektorok önmagukkal vett skalárszorzata valós és nemnegatív.
Ezzel a normával normált tér; sőt, a norma által indukált metrikával metrikus tér, és a normatopológiával topologikus tér Példák Fontos példák a következők: Véges dimenziós vektorterekben az euklideszi norma Az ℓ2 négyzetesen összegezhető sorozatterekben az ℓ2-norma Az L2 négyzetesen integrálható függvények terében az L2-norma A Hs Szoboljev-térben a Szoboljev-norma A Frobenius-norma a mátrixok terén A Hilbert–Schmidt-operátorok terén a Hilbert–Schmidt-norma Tulajdonságai thumb|200px|Háromszög-egyenlőtlenség A skalárszorzat által indukált leképezés norma, tehát teljesíti a definitséget, az abszolút homogenitást és a háromszög-egyenlőtlenséget. Normaaxiómák A három normaaxióma a definitség, az abszolút homogenitás és a háromszög-egyenlőtlenség.
A definitség következik a négyzetgyökvonás nullhelyének egyértelműségéből minden vektorra:
,
az abszolút homogenitás és esetén:
és a háromszög-egyenlőtlenség minden -re a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből:
ahol a komplex szám valós része, és a két utolsó lépésben négyzetgyököt kell vonni. Paralelogrammaazonosság thumb|200px|Paralelogrammaazonosság A skalárszorzatból származó norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot:
minden vektorra. Megfordítva a Jordan–Neumann-tétel szerint, ha egy norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot, akkor van skalárszorzat, ami indukálja. A skalárszorzat a polarizációs formulával számítható, valós esetben:
.
Unitér invariancia Egy skalárszorzatból származó norma invariáns az unitér transzformációkra. Ha unitér transzformációja a vektortérnek egy skalárszorzatos vektortérbe, a hozzá tartozó normával, akkor
,
mivel
közvetlen következménye, ahol az -hoz adjungált operátor. Egy unitér transzformáció tehát nem változtatja a vektor normájának értékét. Véges dimenziós esetben ezek a nullvektor körüli forgatások.
Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség A skalárszorzatból származó norma teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget:
,
ahol az egyenlőség pontosan azt jelenti, hogy a , lineárisan összefüggnek. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből azonnan adódik, hogy:
,
amiből két valós vektor közötti szög meghatározható:
Eszerint a szög mindig -be esik, vagyis és közé. Komplex vektorok szögére különböző definíciók vannak, köztük olyanok is, melyeknél a szög mindig valós. Pitagorasz-tétel Általában két vektor, ortogonális, ha . Ortogonális vektorok esetén a Pitagorasz-tétel:
,
ami közvetlenül adódik a háromszög-egyenlőtlenség levezetésének első részéből. A Pitagorasz-tétel kibővíthető véges sok, páronként ortogonális vektorokra:
.
Hilbert-terekben végtelen sorösszegre a Parseval-formula a megfelelője.
Általánosítás Ha a skalárszorzat definitsége helyett csak pozitív szemidefinitséget írunk elő, akkor a skalárszorzat félnormát indukál. Minden pozitív szemidefinit Hermit-féle szeszkvilineáris alak, valós esetben szimmetrikus bilineáris alak minden -re
félnorma. Ezzel a félnormával félnormált tér, ami azonban nem metrikus tér általában. Maradékosztály-képzéssel származtatható belőle norma, így normált tér, ami metrikus és topologikus tér is.
Például a véletlen valószínűségi változók terében a kovariancia bilineáris alak, és a véletlen valószínűségi változók terén skalárszorzatot ad azon a faktortéren, melyben azonosnak tekintik azokat a valószínűségi változókat, amelyek egymás konstansai. Ekkor a valószínűségi változók normája egyenlő a valószínűségi változó szórásával.
Források
Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Lineáris algebra