thumb|upright=0.65|Klein-féle palack, amely egy kétdimenziós sokaság
A matematikában a sokaság egy olyan topologikus tér, amely lokálisan minden pontja körül egy euklidészi térre hasonlít. Pontosabban megfogalmazva, egy -dimenziós sokaság egy olyan topologikus tér, melyben minden pontnak van olyan környezete, amely homeomorf az -dimenziós euklidészi tér egy nyílt részhalmazához.
Egydimenziós sokaság például az egyenes, a kör, viszont nem tartozik a sokaságok közé a lemniszkáta. A kétdimenziós sokaságokat általánosan felületeknek nevezünk, ismertebb példái a sík, a gömb, a tórusz vagy a Klein-féle palack.
A sokaság fogalma jelentős fontossággal bír a geometria számos területein és a matematikai fizikában, mert lehetővé teszi bonyolult alakzatok egyszerűbb leírását ismert terek topológiai tulajdonságai által. A sokaságok megjelenhetnek egyenletrendszerek megoldáshalmazaiként vagy függvények grafikonjaiként egyaránt.
A sokaságokat el lehet látni további struktúrával, hogy konkrétabb példákban legyenek alkalmazhatóak: a differenciálható sokaság, mely egy halmaz ellátva egy differenciálható struktúrával, a differenciálgeometria egyik legfontosabb fogalma. Egy Riemann-metrikával ellátott sima sokaságon meghatározhatóak szögek és hosszak egy nem feltétlenül lapos (euklidészi) téren. Szimplektikus sokaságokkal modellezhetőek a Hamilton-féle klasszikus mechanika fázisterei, továbbá Lorentz-sokaságokkal leírható a téridő az általános relativitáselméletben.
Története A sokaságok fogalmának kialakulása a matematika számos fontos területét igénybe vette, ugyanis olyan fogalmak általánosításaként szolgál, mint a görbe vagy a felület, de a lineáris algebra és topológia számos ötletét is továbbvitte.
A nemeuklideszi geometria olyan terekkel foglalkozik, ahol Eukleidész párhuzamossági axiómája nem teljesül. Gauss, Bolyai és Lobacsevszkij a 19. században olyan tereket tanulmányoztak, melyek geometriai tulajdonságai eltérnek az euklideszi tér jellemzőitől: az általuk kutatott hiperbolikus és elliptikus geometria napjainkban már megfeleltethetőek olyan Riemann-sokaságoknak, melyeknek görbülete állandó, az elliptikus esetben pozitív, a hiperbolikus esetben negatív. thumb|Egy tórikus poliéder, melynek 24 csúcsa, 72 éle és 48 lapja van, így az Euler-karakterisztikája 0 Gauss theorema egregiumjában bizonyította, hogy egy felszín Gauss-görbülete intrinzikus, tehát nem függ a felület külső térbeli alakjától. Topológiában a sokaságok vizsgálatának fontos része hasonló intrinzikus (vagy invariáns) mennyiségeknek keresése. Pontosabb megfogalmazásban, egy topologikus invariáns olyan tulajdonsága egy adott topologikus térnek, amit nem változtat meg homeomorfia. A topologikus invariánsok kiszámításának egyik történelmi példája az Euler-féle poliédertétel, mely kimondja, hogy egy konvex poliéderre mindig teljesül
,
ahol a poliéder csúcsainak, a lapjainak és az éleinek számát jelöli. Az egyenlet bal oldala az úgynevezett Euler-karakterisztika. Amennyiben a poliéder csúcsait és éleit egy gömbfelületre képezzük le, az egyenlet ugyanúgy teljesül, ugyanis egy konvex poliéder felszíne homeomorf a gömbfelszínnel. Ezáltal az Euler-karakterisztika a gömb egy topologikus invariánsa. Hasonló konstrukciókkal bizonyítható, hogy a tórusz (és a tórikus poliéderek) Euler-karakterisztikája 0. Más felszínek Euler-karakterisztikája is fontos topologikus invariáns, amely általánosítható magasabb dimenziókba a Betti-számok segítségével. Egy felszín Euler-karakterisztikája és Gauss-görbülete közötti összefüggést a Gauss–Bonnet-tétel mondja ki.
Habár a sokaság kifejezés a Riemann által használt Mannigfaltigkeit szóból ered, a 18-19. században számos matematikai és fizikai eredmény volt köszönhető olyan konstrukcióknak, melyekre napjainkban már sokaságként utalunk: az elliptikus integrálok inverzeinek vizsgálatához mai terminológiával komplex sokaságokra volt szükség, a klasszikus mechanikában a generalizált koordináták által meghatározott fázistér is leírható egy sokasággal, mely akkor tér el az Euklideszi tértől, amikor a részecskék mozgása nem szabad.
A Riemann-féle leírás szerint egy sokaság minden olyan értéknek a halmaza, melyet egy változó felvehet valamilyen kényszerfeltételek teljesülése mellett. A differenciálható sokaság (franciául variété) definíciónak elődjét Henri Poincaré adta meg az Analysis Situs című munkájában 1895-ben.; translation in Russian Math. Surveys 53 (1998), no. 1, 229–236 A Poincaré-féle definíció szerint a sokaság olyan Euklideszi tereken értelmezett folytonosan differenciálható függvények szinthalmaza, melyek Jacobi-mátrixa invertálható. Ezen definíció szerint bármely folytonosan differenciálható függvény grafikonja egy sokaság. Továbbá, az implicitfüggvény-tétel szerint egy Euklideszi tér bármely részsokasága lokálisan leírható egy függvénygrafikonnal. Poincaré ebben a munkájában az atlasz definíciójának elődjét is megalkotta, amit akkoriban sokaságláncnak (une chaîne des variétés) nevezett el.
Az 1911-12-es előadássorozatában Hermann Weyl fogalmazta meg a differenciálható sokaságok olyan definícióját, mely végül a topologikus terek fogalmához vezetett. Az 1930-as években többek között Hassler Whitney egységesítette a differenciálgeometria és a Lie-csoportok elméletének eredményeit, amely így a sokaságok témájának alapjait matematikailag precíz módon fektette le. Továbbá, Whitney beágyazási tétele kimondja, hogy a térképek által motivált sokaság-definíció megegyezik Poincaré leírásával.
A kétdimenziós sokaságokat (azaz felületeket) Poul Heegaard és Max Dehn osztályozta a 20. század elején. A háromdimenziós sokaságok egyik legismertebb tétele a Poincaré-sejtés, melyet majdnem egy évszázaddal a sejtés publikálása után bizonyított Perelman 2002-ben. A Poincaré-sejtést általánosítja a William Thurston által 1982-ben megjelenített geometrizációs sejtés, melyet 2006-ban bizonyított szintén Perelman. A négydimenziós sokaságok vizsgálatának főbb motivációja a Yang-Mills elmélet az elméleti fizikában. Andrej Markov bizonyította, hogy nem létezik olyan algoritmus, mely meg tud bármely zárt, kompakt, sima négydimenziós sokaságot különböztetni egymástól.
Definíciók Topologikus sokaságok Geometriában és topológiában minden sokaság egy topologikus sokaság, amely a következőképp van definiálva:
Egy adott topologikus tér egy -dimenziós sokaság, ha Hausdorff (T2), megszámlálható bázisa van (M2), és minden -nek létezik olyan környezete, ami homeomorf -nel. Homeomorfiának nevezünk egy olyan leképezést két topologikus tér között, amely bijekció, folytonos és az inverze is folytonos. Habár léteznek nem-Hausdorff sokaságok is, ezek inkább tekinthetőek a sokaság-fogalom általánosításaként, így a leggyakrabban egy sokaság Hausdorff-nak és megszámlálható bázisúnak van definiálva.
Peremes sokaságok Habár a sokaságokat nyílt halmazok segítségével definiáljuk, ez nem zárja ki a lehetőségét annak, hogy egy sokaságnak pereme legyen. Például, a körlap (vagy korong) egy kétdimenziós sokaság, melynek pereme a kör, mely egy egydimenziós sokaság. Precízebb megfogalmazásban egy peremes sokaság egy olyan topologikus tér, mely T2, M2, és bármely pontnak létezik egy olyan környezete, ami homeomorf a halmazhoz. Az így definiált sokaság pereme (általános jelölés szerint ) azon pontok halmaza, melynek nem létezik -nel homeomorf környezete. Továbbá, egy -dimenziós peremes sokaság pereme egy -dimenziós (nemperemes) sokaság.
Differenciálható sokaságok
Ahhoz, hogy egy adott sokaságon differenciál- és integrálszámítást végezzünk, nem elegendő a topologikus sokaság definíciója, további struktúrára van szükség. Amennyiben egy -dimenziós topologikus sokaság, olyan nyílt részhalmaza -nek, mely homeomorf -nel és , akkor egy homeomorfizmust egy körüli térképnek nevezünk. Olyan térképek halmazát, melyek értelmezési tartománya lefedi -et, egy atlaszának nevezzük.
Amennyiben és nem diszjunkt nyílt részhalmazai -nek és , térképek, akkor a következő kompozíció segítségével definiálható egy homeomorfia két részhalmaza között:
melyre ezáltal alkalmazhatóak a többváltozós differenciálszámítás szabályai. Ha egy ilyen függvény és az inverze is -szer differenciálható, akkor -diffeomorfizmusnak nevezzük. Ha egy atlaszban minden térképpárból alkotható egy ilyen -diffeomorfizmus (tehát tetszőlegesen sokszor differenciálható) két részhalmaza között, akkor az atlasz kiterjeszthető egy sima struktúrává. Egy sima struktúrával ellátott topologikus sokaságot sima sokaságnak hívunk. Amennyiben ezek a diffeomorfizmusok csak -szer deriválhatóak, akkor a sokaságot -differenciálható sokaságnak nevezzük. Differenciálható sokaságokon definiálhatóak tangens terek vagy érintőterek, melyek vektorterek és segítségükkel általánosítható olyan leképezések deriválása, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is egy sokaság részhalmaza. Az érintőterek mindig a sokaság egy pontjához tartoznak, ezek gyűjteményét (diszjunkt unióját) tangens nyalábnak vagy érintőnyalábnak hívjuk, melyek segítségével vektormezők és magasabb rendű tenzormezők is definiálhatóak sokaságokon. Differenciálformák (melyek leképezések sokaságon definiált tenzormezők és skalármezők között) által pedig az integrálszámítás is kiterjeszthető a sima sokaságokra.
A térkép és az atlasz definiálásának nem előfeltétele, hogy a sokaság differenciálható vagy sima legyen. Sőt, térképek segítségével rendkívül hatékony sokaságokat konstruálni.
Egyéb sokaságok A komplex sokaság olyan sokaság, melynek térképeinek értékkészlete helyett , és a térképek által definiált homeomorfiák adott részhalmazain holomorfak. A komplex sokaság a komplex geometriának egyik legfontosabb fogalma. A szimplektikus sokaság olyan sokaság, mely el van látva egy 2-formával, mely a Poisson-zárójelet definiálja. A Riemann-sokaság egy olyan sima sokaság, melynek bármely pontbeli tangenstere egy skalárszorzatos vektortér, ami így lehetővé teszi hosszok és szögek kiszámítását egy sima sokaságon. A Lie-csoport olyan differenciálható sokaság, mely csoportstruktúrával is el van látva, ahol a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható.
Sokaságok konstrukciója Konstrukció térképek segítségével Kör right|thumb|A körnek és a négy térképének illusztrációja A sokaság definíciója olyan példákból motiválódott, ahol térképek segítségével próbáltak meg bizonyos felszíneket vagy térfogatokat jellemezni. Ennek legegyszerűbb példája a kör, amelyről négy térkép segítségével könnyen látható, hogy egy topologikus sokaság. Mivel a topológia adott alakzatok folytonos (szakítás és ragasztás nélküli) deformációját az alakzattal egyenértékűnek (homeomorfnak) tekinti, így a kör egy adott ívhossza megfeleltethető egy egyenes kis részének, mivel az egyenes egy adott intervallumának meghajlítása egy folytonos deformáció. Az egységkör egyenlete . A kör felső (az ábrán sárga) ívének -koordinátája pozitív és minden pontját egyedien meghatározza az -koordinátája. Ebből következik, hogy a
egy folytonos és invertálható leképezés a sárga ív és a valós intervallum között, így egy térkép. Hasonlóképp lehet a kör többi térképeit meghatározni:
.
Mivel az előbb megadott négy térkép értelmezési tartománya lefedi az egész körívet, így egy atlaszt alkotnak.
Az ábrán látható, hogy például a sárga és a zöld ívek metszete nem üres, hanem a kör azon pontjait tartalmazhatja, melyek és -koordinátája is pozitív. Ennek következtében a és térképek a metszet bármely pontját a nyílt intervallum egy pontjába képezi le. A következő valós függvény
a értékkészletéből a metszet (és ezáltal a körív) egy pontjába képez le az invertált térkép segítségével, majd a zöld térképpel vissza az intervallumba. A konstrukció szerint egy homeomorfia, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is nyílt részhalmaza. Ebből következik, hogy a kör egy egydimenziós sokaság. Egy tetszőleges ponton kiértékelve: