A csoportelméletben véges csoportnak nevezünk egy olyan csoportot, melynek alaphalmaza véges. Véges csoportok gyakran állnak elő matematikai vagy fizikai objektumok szimmetriájának vizsgálatakor, amikor ezek az objektumok csak véges számú struktúra-megőrző transzformációt engednek meg. Fontos példái a ciklikus csoportok és a szimmetrikus csoportok.
A véges csoportok tanulmányozása a csoportelmélet fontos része a 19. századi megjelenése óta. Az egyik legfontosabb részterülete a véges egyszerű csoportok osztályozása, mely 2004-ben fejeződött be arra az esetre, amikor a véges csoportnak nincs nemtriviális normálosztója.
Példák Szimmetrikus és permutációcsoportok
Az -nel jelölt szimmetrikus csoport darab szimbólum összes permutációját tartalmazza, a csoportművelet pedig a permutációk kompozíciója, mely tekinthető a szimbólumok között egy bijektív függvényként. Mivel elemnek ( faktoriális) lehetséges permutációja van, az csoport rendje (tehát elemeinek száma) .
Ciklikus csoportok
A ciklikus csoport minden eleme egy adott elem egész kitevős hatványa, ahol ( itt a csoport egységeleme). Az (véges) elemszámú ciklikus csoportok izomorfak a komplex egység -edik egységgyökeinek csoportjához.
Véges Abel-csoportok Abel-csoportnak vagy kommutatív csoportnak hívunk egy olyan csoportot, melyben bármely csoportbeli elempáron végzett csoportművelet eredményén nem változtat a két elem felcserélése. Ezt a tulajdonságot a kommutativitás axiómájának is hívjuk.
Egy tetszőleges véges Abel-csoport izomorf olyan véges ciklikus csoportok direkt összegével, melyek elemszámai prímszámok egész kitevős hatványai és egyértelműen meghatározottak. A rendek invariánsok rendszerét alkotják, melyek leírják a véges Abel-csoport automorfizmuscsoportját. A véges Abel-csoportok elméletének fontos kezdőpontja Ferdinand Georg Frobenius és Ludwig Stickelberger 1879-es eredménye, amelyet később leegyszerűsítettek és általánosítottak, ezáltal fontos részét képezve a lineáris algebrának.
Lie-típusú csoportok A Lie-típusú csoportok nem összetévesztendőek a Lie-csoportokkal, azonban szoros összefüggés van a két fogalom között. A Lie-csoportok olyan csoportok, melyek egyszerre sima sokaságok és a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható. Egy kompakt Lie-csoport megfeleltethető a valós számtesten definiált reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak. Ha a valós számtestet felcseréljük egy véges testre, az általa definiált reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak csoportja szorosan kapcsolódik a Lie-típusú csoportokhoz. Önmagában a Lie-típusú csoportoknak nincs precíz széles körben elfogadott definíciója,mathoverflow – Definition of “finite group of Lie type”? azonban azoknak a véges egyszerű Lie-típusú csoportoknak van, melyek elősegítik a véges egyszerű csoportok osztályozását.
Véges Lie-típusú csoportok adják a nem-Abel véges egyszerű csoportok túlnyomó többségét. Speciális esetei a klasszikus csoportok, a Chevalley-csoportok, a Steinberg-csoportok és a Suzuki−Ree-csoportok.
Fontosabb tételek Lagrange-tétel A Joseph Louis Lagrange után elnevezett tétel kimondja, hogy egy adott véges csoport bármely részcsoportjának rendje (tehát az alaphalmaz elemeinek száma) osztója rendjének. Jelöljük rendjét -vel, akkor a természetes számot a részcsoport indexének hívjuk, jelölése . A részcsoport indexe a baloldali mellékosztályai számának felel meg.
A tétel következménye, hogy bármely elemének rendje (tehát egy olyan természetes szám, melyre , ahol a csoport egységeleme) mindig osztja a csoport rendjét.https://www.cs.bme.hu/~szeszler/bsz2/csoport.pdf
Sylow-tételek
Legyen egy prímszám. Egy adott csoport Sylow -részcsoportjának hívjuk bármely olyan részcsoportját, mely egy -csoport, tehát minden elemének rendje egy hatványa, és nem valódi részcsoportja bármelyik másik -részcsoportjának.
A Peter Ludwig Sylowról elnevezett tételek rendkívül fontosak a véges csoportok vizsgálatában, ugyanis részletes információt adnak egy fixált rendű véges csoport részcsoportjainak számáról. Tekinthető a Lagrange-tétel részleges megfordításának, mivel kimondja, hogy egy véges csoport rendjének minden prímtényezőjére létezik egy Sylow -részcsoportja -nek. Továbbá, minden rendű részcsoportja Sylow -részcsoport, és fixált prím esetén a csoport Sylow -részcsoportjai egymás konjugáltjai. Egy csoport Sylow -részcsoportjainak számát -vel osztva mindig egy lesz a maradék.
Cayley-tétel Az Arthur Cayleyről elnevezett tétel kimondja, hogy bármely elemű csoport izomorf az szimmetrikus csoport valamilyen részcsoportjával. Pontosabban megfogalmazva, a szimmetrikus csoport elemei a alaphalmazának permutációi. Vannak esetek, amikor izomorf egy kisebb szimmetrikus csoport részcsoportjával, mint például a hatelemű nem csak egy részcsoportjával izomorf, hanem triviálisan önmagának részcsoportja is. Egy adott csoportra megtalálni a legkisebb szimmetrikus csoportot, melynek egy részcsoportjával izomorf egy önmagában nehéz feladat.
A tétel értelmezhető a csoporthatásának önmagának elemeire, továbbá kiterjeszthető végtelen csoportokra is.
Burnside-tétel A Burnside-tétel kimondja, hogy amennyiben egy elemszámú csoport, ahol és prímszámok, és pedig nemnegatív egész számok, akkor feloldható. A tételből következik, hogy bármely nem-Abel véges egyszerű csoport rendje osztható legalább három egymástól különböző prímszámmal.
Feit–Thompson-tétel
A Feit–Thompson-tétel szerint bármely páratlan rendű csoport feloldható. A tételt Walter Feit és John G. Thompson bizonyította.
Osztályozása A véges egyszerű csoportok osztályozásának tétele szerint minden véges egyszerű csoport a következők egyikébe tartozik: Olyan ciklikus csoport, melynek rendje prímszám, Legalább ötödfokú alternáló csoport, Egyszerű Lie-típusú csoport, A 26 sporadikus egyszerű csoport egyike, A Tits-csoport (esetenként a 27. sporadikus csoportnak tekinthető)
A véges egyszerű csoportok olyan értelemben alkotják bármely véges csoport alapköveit, ahogy a prímszámok "építik fel" a természetes számok bármelyikét. A Jordan–Hölder-tétel precízen megfogalmazza ezt az elképzelést, azonban fontos megjegyezni, hogy véges egyszerű csoportok "összerakása" nem határoz meg egyértelműen egy véges csoportot, ugyanis létezhetnek nem-izomorf csoportok, melyeknek egyezik a kompozíciólánca.
Adott rendű csoportok száma Adott pozitív egész számra nem mindig magától értetődő, hogy hány elemszámú csoport létezik izomorfiáig bezárólag. A következő esetek azonban megkönnyítik a klasszifikációt: A Lagrange-tételből következik, hogy minden olyan csoport ciklikus, melynek rendje egy prímszám, ugyanis a csoport bármely nemneutrális eleme olyan részcsoportot generál, mely egyenlő az egész csoporttal. Ha egy prímszám négyzete, akkor pontosan kettő nem-izomorf -edrendű csoport van, és mindkettő Abel.
Rend n Csoportok száma Ezek közül Abel Ezek közül nem-Abel 0 0 0 0 1 1 1 0 2 1 1 0 3 1 1 0 4 2 2 0 5 1 1 0 6 2 1 1 7 1 1 0 8 5 3 2 9 2 2 0 10 2 1 1 11 1 1 0 12 5 2 3 13 1 1 0 14 2 1 1 15 1 1 0 16 14 5 9 17 1 1 0 18 5 2 3 19 1 1 0 20 5 2 3 21 2 1 1 22 2 1 1 23 1 1 0 24 15 3 12 25 2 2 0 26 2 1 1 27 5 3 2 28 4 2 2 29 1 1 0 30 4 1 3
Megjegyzések
Jegyzetek
Fordítás
Kategória:Csoportelmélet