A standard skalárszorzat a matematikában általában használt skalárszorzat véges dimenziós valós, illetve komplex vektorterekben. Segítségével bevezethető a merőlegesség, a szög fogalma a koordinátageometriába, illetve általánosítható négy, illetve magasabb dimenziókba. Ahogy más skalárszorzatok, valós esetben a standard skalárszorzat pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma, komplex esetben pozitív definit hermitikus szeszkvilineáris forma, én invariáns ortogonális, illetve unitér transzformációkra. A skalárszorzatból származtatható norma is, amivel definiálható a hossz és a távolság. Valós eset Definíció Legyenek vektorok úgy, hogy és . Ekkor standard skalárszorzatuk
,
ahol az vektor transzponáltja. Ennek a szorzatnak az eredménye egy valós szám. Alternatívan, a hegyes zárójelek mellett használják még az jelölést is. Példa A háromdimenziós térben az és vektorok standard skalárszorzata
. Tulajdonságok A standard skalárszorzat természetes módon teljesíti a skalárszorzat tulajdonságait. Bilineáris, azaz lineáris az első argumentumában
és ,
és a másodikban
és .
továbbá szimmetrikus, mivel
,
és pozitív definit, hiszen
und . Komplex eset Legyenek komplex vektorok egy véges dimenziós komplex vektortérben. Ekkor standard skalárszorzatuk kétféleképpen definiálható:
illetve
,
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli, és az vektorhoz adjungált vektor. Mindkét konvenció szerint az eredmény egy komplex szám, melyek csak konjugálásban különböznek, mivel . Példák Legyenek és vektorok a kétdimenziós komplex térben. Az első változat szerint
és a második változat szerint ennek konjugáltja,
. Tulajdonságok Teljesülnek a skalárszorzattól elvárt tulajdonságok. A következő tulajdonságokat az első változaton mutatjuk be; a másodikra hasonlók állnak fenn. Az első változat szerint az első tényezőben konjugálunk, úgyhogy szemilineáris az első argumentumában,
és ,
illetve lineáris a másodikban:
und .
továbbá hermitikus, mivel
,
és pozitív definit, hiszen
und ,
ahol a komplex abszolútérték. A második változat tulajdonságai hasonlóak, de az első tényező helyett a másodikban kell konjugálni, ami azt jelenti, hogy lineáris az első és szemilineáris a második argumentumban. Valós esetekre leszűkítve visszakapjuk a valós skalárszorzatot: a valós számok önmaguk konjugáltjai, az adjungálás pedig a transzponáltat adja. Tulajdonságok Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség Mint minden skalárszorzat, úgy a standard skalárszorzat is teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, ami azt jelenti, hogy minden esetén, ahol vagy , teljesül, hogy
.
Valós esetben az abszolútérték jelek elhagyhatók. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség a lineáris algebra és az analízis egyik központi egyenlőtlensége. Például következik belőle a standard skalárszorzat folytonossága.
Eltolási tulajdonság Minden mátrixra és minden vektorra:
,
ahol az mátrix transzponáltja. Hasonlóan, minden komplex mátrixra és vektorra
,
ahol az -hoz adjungált mátrix. Unitér invariancia A valós skalárszorzat nem változik ortogonális transzformáció hatására, ami azt jelenti, hogy ha ortogonális, akkor teljesül rá az
,
eltolási tulajdonság, ahol a mátrix inverze, és az -es egységmátrix. Az ortogonális transzformációk tipikusan origó körüli forgatások, illetve origón átmenő síkra való tükrözések. Analóg módon a komplex skalárszorzat invariáns az unitér transzformációkra, vagyis ha unitér mátrix, akkor
.
Származtatott fogalmak Szög A valós skalárszorzattal meghatározható két vektor közötti szög. Legyenek , ekkor az általuk közrezárt szög
A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség miatt a tört nevezője legalább akkora, mint a számláló abszolútértéke, így a szög a intervallumba esik, azaz és közötti. Hogyha és egységvektorok, akkor az általuk közrezárt szög koszinusza éppen a skalárszorzatuk. A komplex vektorok által közrezárt szögekre különböző definíciók léteznek. Ortogonalitás Ahogy a valós, úgy a komplex vektorok is ortogonálisak, ha standard skalárszorzatuk
Ekkor a képlet alapján , ha egyik sem nullvektor. Ha pedig valamelyik nullvektor, akkor definíció szerint tetszőleges irányú, tehát tekinthetjük merőlegesnek a másik vektorra.
Ha tekintünk egy origón átmenő egyenest, síkot, vagy általánosabban egy dimenziós alteret az dimenziós valós vagy komplex térben, és ortonormált bázis -ban, akkor
a kiindulási tér egy vektorának ortogonális projekciója. Ekkor az különbségvektor ortogonális komplementerében van, tehát merőleges az altér minden vektorára, vagyis minden vektorra.
Norma A standard skalárszorzat által indukált norma az
euklideszi norma. Ez jóldefiniált, mert egy vektor önmagával vett skalárszorzata mindig valós és nemnegatív. Valós esetben az abszolútérték elhagyható. Az euklideszi norma megfeleltethető a vektor hosszának. Metrika Az euklideszi normából, mint hosszúságból metrika származtatható, tehát távolságot is tudunk mérni:
Valós esetben az abszolútérték elhagyható. A metrikából topológia származtatható, , illetve standard topológiája. Általánosítások Véges dimenzió A skalárszorzat eddigi fogalma átvihető az illetve standard vektorterekről általánosabb véges dimenziós valós vagy komplex vektorterekre. Ha ortonormált bázis -ben egy tetszőleges skalárszorzat szerint, akkor minden előáll, mint
ahol minden -re,
ahol a vektor komponensei, és a vektor koordinátái ebben a bázisban. A koordináták a vektor ortogonális vetületeinek hossza a bázisvektorok irányában. Ekkor a vektorok skalárszorzata számítható, mint
Ha a mátrixokat megfelelő hosszú vektorokként fogjuk fel, akkor a skalárszorzat felfogható a mátrixok Frobenius-skalárszorzataként. Sorozatterek A standard skalárszorzat általánosítható sorozatterekre, így végtelen dimenziós vektorterekre is; azonban nem jöhet számításba az összes végtelen sorozatot tartalmazó vektortér, hiszen a skalárszorzatnak végesnek kell lennie. A jelen példa az valós vagy komplex sorozatteret tekinti, melynek elemei azok az valós vagy komplex értékű sorozatok, melyekre
Legyen két ilyen sorozat, ekkor -skalárszorzatuk:
Általánosabb, választhatunk a természetes számok helyett egy indexhalmazt, és tekintheti az tereket, amik az -ben négyzetesen összegezhető sorozatok tere. Ekkor definiálható az
.
skalárszorzat. Ebből a másik komplex változat konjugálással, a valós eset pedig a konjugálás elhagyásával kapható. Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Lineáris algebra