thumb|Három origón átmenő sík (zölddel, sárgával, szürkével) és egy origón átmenő egyenes (kékkel) A matematikában az origón átmenő sík egy olyan sík, ami átmegy egy adott Descartes-féle koordináta-rendszer origóján. A koordináta-rendszerben kitüntetettek a koordinátasíkok. A többi síkhoz képest kompaktabb egyenlettel írhatók le, ami egyszerűsíti a metszet- és a távolságszámításokat is. Azok a vektorok, amelyek egy origón átmenő síkban fekszenek, kétdimenziós alteret alkotnak. Definíció A koordinátageometriában egy sík a háromdimenziós euklideszi tér pontjainak egy részhalmaza. Egy origón átmenő sík tartalmazza a rögzített Descartes-féle koordináta-rendszer origóját. Egy origón átmenő sík egyenlete
alakú, ahol és valós paraméterek, amelyek nem mind nullák. Vektoriális ábrázolás Az origón átmenő síkok is ábrázolhatók vektoregyenletekkel, ahol a sík minden pontját helyvektorával ábrázoljuk. Az egyenlet paraméteres alakja:
ahol
ahol és a sík két lineárisan független vektora. Egy origón átmenő sík azokból a pontokból áll, amelyek helyvektorai előállnak két adott vektor lineáris kombinációjaként. A sík egyenletének normálformája háromdimenziós térben:
ahol a sík normálvektora, és két vektor skalárszorzata. Egy origón átmenő sík azokból a pontokból áll, melyek helyvektorai ortogonálisak az adott normálvektorra. Ha egy origón átmenő sík paraméteres alakban van megadva, akkor egy normálvektora az vektoriális szorzattal számítható ki. Példák thumb|Koordinátasíkok három dimenzióban A legalapvetőbb példák a koordinátasíkok:
illetve illetve illetvde illetve illetve illetve
ahol , és egységvektorok. Tulajdonságok Metszet Két különböző origón átmenő sík metszete mindig origón átmenő egyenes, vagyis egy
, ,
ahol az egyenes irányvektora. Ha az origón átmenő síkok normálvektorai és , akkor a metszésvonal egy irányvektora
vagyis a normálvektorok vektoriális szorzata. Három, origón átmenő sík metszete akkor és csak akkor az origó, ha normálvektoraik lineárisan függetlenek. A tér három vektora lineárisan független, ha nincs olyan origón átmenő sík, ami tartalmazza. Pont távolsága Egy helyvektorú pont távolsága egy normálvektorú origón átmenő síktól számítható, mint:
,
ahol az vektor hossza. Ez a távolság a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és sík közötti szakaszának hossza. A talppont helyvektora a vektor merőleges vetülete az origón átmenő síkra, és számítható, mint:
Pont tükrözése Egy helyvektorú pont tükörképe egy origón átmenő síkra úgy kapható, hogy a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és talppont közötti szakaszát megkétszerezzük. Ezzel egy vektor tükörképe
ahol ismét az origón átmenő sík normálvektora. Vektortér struktúra A háromdimenziós tér vektorainak halmaza vektorteret alkot, az euklideszi teret. Egy origón átmenő síkban levő vektorok az euklideszi tér alterét alkotják:
.
Ez az altér éppen az origón átmenő síkot kifeszítő, egymástól lineárisan független és vektorok lineáris burka, illetve a sík egy normálvektorának lineáris burkának ortogonális komplementere. Az origón átmenő síkok pontosan az euklideszi tér kétdimenziós alterei.
Minden síkhoz, ami nem tartalmazza az origót, létezik pontosan egy párhuzamos origón átmenő sík. Ezáltal minden sík az euklideszi tér affin altere:
ahol egy -beli pont helyvektora. Általánosítások Általánosabban, magasabb dimenzióban is tekinthetők a síkok. Ekkor egy origón átmenő sík az tér egy kétdimenziós altere. Paraméteres alakja, mint három dimenzióban:
,
ahol lineárisan függetlenek. A megfelelő normálegyenlet:
ahol , origón átmenő hipersíkot definiál, melynek dimenziója . Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Koordinátageometria