thumb|Két dimenzióban a koordinátatér azokból a síkvektorokból áll, amelyek kiindulópontja az origó
A matematikában a koordinátatér vagy standard vektortér egy adott test elemeiből álló -esek halmaza, komponensenkénti összeadással és skalárral szorzással ellátva. A koordinátatér elemei koordinátavektorok. A koordinátatér standard bázisa kanonikus egységvektorokból áll. A koordinátaterek közötti lineáris leképezéseket mátrix (matematika)ok ábrázolják. A lineáris algebrában a koordinátatereknek különleges jelentőségük van, mivel minden véges dimenziós vektortér izomorf egy koordinátatérrel.
A két- és háromdimenziós valós koordinátaterek gyakran szolgálnak az euklideszi sík és az euklideszi háromdimenziós tér modelljeként. Ekkor elemeiket egyszerre tekintjük pontoknak és vektoroknak. Definíció thumb|Egy (x,y,z) koordinátavektor, mint helyvektor a háromdimenziós valós koordinátatérben Legyen test, egy természetes szám, ekkor az
-szeres Descartes-szorzat az összes -es halmaza, ahol a koordináták -beliek. Ehhez bevezetjük az komponensenkénti összeadást:
illetve a skalárral szorzást:
.
Ezzel megkapjuk a vektorteret, melyet nevezünk koordinátatérnek, standard vektortérnek vagy a test fölötti dimenziós vektortérnek.
Ábrázolás oszlopvektorokkal A koordinátavektorokat gyakran oszlopvektorokként jelölik. A vektorok összeadása és a skalárral szorzás megfelel a soronkénti összeadásnak és a soronkénti skalárral szorzásnak:
.
Ezek a műveletek megfelelnek a mátrixok összeadásának és a mátrixok skalárral szorzásának egyoszlopos mátrixok esetén. Példák thumb|Kér vektor összeadása az euklidészi síkon (fent) és egy vektor szorzása a kettővel, mint skalárral (lent) Egyik gyakran használt példa a valós számok fölött megalkotott koordinátatér. Az egydimenziós tér esetén a vektortérben definiált összeadás és skalárral szorzás megfelel a valós számok összeadásának és szorzásának. A kétdimenziós valós koordinátatérben a számpárok értelmezhetők az euklidészi sík helyvektoraiként. Ekkor a két koordináta éppen a helyvektor végpontjának Descartes-koordinátái. Ezzel az
összeadás a hozzátartozó vektorok összeadása, és a
skalárral szorzás a megfelelő vektor -szorosára nyújtásának. Mindkét művelet eredménye szintén vektor a síkon. Hasonlóan, a valós háromdimenziós koordinátatér értelmezhető a háromdimenziós euklideszi tér helyvektorai. Magasabb dimenzióban a dolog hasonlóan működik, még ha kevésbé szemléletes is. Tulajdonságok Neutrális elem és ellentett A koordinátatér neutrális eleme az
nullvektor, ahol a test nulleleme. Egy vektor ellentettje az vektor, ahol rendre az koordináta ellentettje a testben. Vektortér axiómák A koordinátatér vektortér. Legyenek koordinátavektorok, skalárok; ekkor teljesülnek a következők: asszociativitás: kommutativitás: , vegyes asszociativitás: disztributivitások: és az egységelem neutralitása: , ahol a test egységeleme.
Mindezek a test műveleteinek tulajdonságaiból adódnak, amelyeket az egyes koordinátákra alkalmazunk. Bázis A koordinátatér standard bázisa a kanonikus egységvektorokból áll:
,
ezek lineáris kombinációjával minden vektor kifejezhető:
A koordinátatér dimenziója:
.
Bázistranszformációval további bázisokhoz juthatunk. Egy -es mátrix sorai és oszlopai akkor alkotják a koordinátatér bázisát, ha a mátrix invertálható, vagyis teljes rangú. Lineáris leképezések Két, azonos test fölötti koordinátatér közötti lineáris leképezések egyértelműen megfeleltethetők az adott test fölötti mátrixoknak: Legyen mátrix sorral és oszloppal, ekkor a mátrix-vektor szorzás definiál egy
lineáris leképezést. Megfordítva, minden lineáris leképezéshez tartozik egyértelműen egy mátrix, úgy, hogy minden -re. oszlopai ekkor a standard bázis vektorainak képei:
.
A mátrixok a mátrixösszeadással és a skalárral szorzással szintén vektorteret alkotnak, a mátrixteret. Izomorfizmus Ha egy fölötti -dimenziós vektortér, akkor izomorf a koordinátatérrel,
.
Ugyanis válasszunk egy bázist -ben, így minden vektor előáll, mint
ahol . Ezzel minden vektor reprezentálható, mint . Megfordítva, minden koordináta--es pontosan egy vektornak felel meg a bázis vektorainak lineáris függetlensége miatt. Tehát a
leképezés bijektív, és mivel lineáris is, izomorfizmus a két vektortér között. Mivel így minden test fölötti dimenziós vektortér izomorf a koordinátatérrel, azért minden ugyanazon test fölötti, ugyanazon dimenziós vektortér izomorf egymással. Más szavakkal, a vektorterek izomorfia erejéig jellemezhetők alaptestükkel és dimenziójukkal.
A véges dimenziós vektortereknek ez az azonosítása a koordinátatérrel magyarázza a standard tér elnevezést. Konkrét számolások esetén a koordinátavektorokkal számolnak, ám elméleti szinten inkább alaptestükkel és dimenziójukkal jellemzett absztrakt terekkel foglalkoznak, mivel nem akarnak egy már eleve kiválasztott bázis/koordináta-rendszer mentén érvelni.
Gazdagabb struktúrák A koordinátatér a következő struktúrákká fejleszthető: Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy skalárszorzattal, például standard skalárszorzattal, akkor skalárszorzatos vektorteret kapunk. Mivel itt az indukált metrika teljes, azért rögtön Hilbert-teret kapunk. Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy vektornormával, például euklidészi vagy más p-normával, ekkor normált teret kapunk. Az indukált metrikával Banach-tér. Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy topológiával, például a standard topológiával. Így topologikus vektorteret kapunk, amennyiben az összeadás és a skalárral szorzás folytonos a topológiában.
Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Absztrakt algebra Kategória:Lineáris algebra Kategória:Csoportelmélet Kategória:Koordinátageometria