bélyegkép|350px|jobbra|A triviális csomó és a legfeljebb 7 metszéssel rendelkező prímcsomók katalógusa (tükörképek nélkül) 180px|bélyegkép|Az egyszerű csomó lóherecsomóvá alakítható végei egyesítésével. bélyegkép|A háromszög és a lóherecsomó kapcsolata. bélyegkép| pereccsomó alakú perec. A matematikában a csomó a kör () 3 dimenziós euklideszi térbe ( vagy ) való ágyazása. Gyakran két csomó ekvivalens, ha környezeti izotópia van köztük, vagyis ha rendelkezik olyan folytonos deformációval, mely az egyik csomót a másikhoz rendeli.
A matematikai és hagyományos csomók közti legfontosabb különbség, hogy a matematikai csomók zártak – rajtuk nincs vég, melynél kibogozhatók. A fizikai jellemzők, mint a súrlódás vagy a vastagság szintén nem alkalmazhatók, bár vannak olyan matematikai csomómeghatározások, melyek e jellemzőket is figyelembe veszik. A csomófogalom alkalmazható általában beágyazásaira -be, különösen, ha . A matematika csomókkal foglalkozó ága a gráfelmélethez sokban kapcsolódó csomóelmélet.
Formális meghatározás A csomó a kör () olyan beágyazása a 3 dimenziós euklideszi térbe () vagy a 3-gömbbe (), mivel a 3-gömbfelület kompakt.; 2 csomó ekvivalens, ha van köztük környezeti izotópia. Leképezés Az euklideszi térbe (vagy a 3-gömbbe) ágyazott csomó leképezhető síkra (), illetve gömbre (). E leképezés majdnem mindig reguláris, vagyis mindenhol injektív véges számú metszéspont kivételével, melyek a csomó 2 pontjának alkotják leképezését, melyek nem kollineárisak. Ez esetben a leképezési oldal megválasztásával pontosan kódolható a csomó izotópiaosztálya reguláris projekcióval egyszerű felette-alatta információ révén a metszéseknél. Gráfelméletileg a csomó reguláris leképezése, a csomódiagram így 4 értékű síkgráf felül-alul meghatározott csúcsokkal. A gráf helyi módosításai, melyek lehetővé teszik az egyik diagramból a másikba való átmenetet (környezeti izotópia erejéig) a Reidemeister-lépések.
Csomótípusok bélyegkép|300px|A csomó felbontható, ha a kör megszakad A legegyszerűbb csomó, a triviális csomó az euklideszi térbe ágyazott egyszerű kör. A szó hagyományos értelmében a triviális csomó nem „csomós”. A legegyszerűbb nem triviális csomók a lóherecsomó (), a nyolcas csomó () és az ötlevelű csomó (.;
Több összekapcsolt csomóból állnak össze a láncok. A csomók egytagú láncok. Szelíd és vad csomók bélyegkép|200px|Vad csomó A sokszögletű csomó olyan csomó, melynek képe -ben véges számú szakasz uniója. Szelíd minden sokszögletű csomóval ekvivalens csomó. A nem szelíd csomók vadak, és patologikus viselkedésük lehet. A csomó- és 3-sokaság-elméletben a szelíd jelzőt gyakran elhagyják. A sima csomók például mindig szelídek. Keretes csomó
A keretes csomó a szelíd csomó kiterjesztése a kitöltött tórusz beágyazásával -be.
A csomó kerete a képének láncszáma a csomóval. A keretes csomó így a beágyazott szalagnak tekinthető, és a keret a csavarodások előjeles száma. E definíció általánosítható a keretes láncokra. A keretes láncok ekvivalensek, ha kitöltött tóruszokra való bővítéseik közt környezeti izotópia van.
A keretes láncok diagramjai a meridiánhoz és a fő hosszúsághoz képesti deriváltat megmutató, keretet jelölő számmal ellátott komponensekkel rendelkező láncdiagramok. Egy jelöletlen láncdiagramot keretes láncot jelölőkénti megnézésének szabványos módja a táblakeret. Ez a komponensek síkon fekvő szalaggá alakításával kapható. Egy 1. típusú Reidemeister-lépés egyértelműen megváltoztatja a keretet (a szalag csavarodásszámát), de a másik 2 nem. Az 1. típusú lépés cseréje módosított 1. típusú lépésre a Reidemeister-tételhez hasonló keretű láncdiagramokat ad: a táblakeretű láncdiagramok ekvivalens keretes láncokat adnak akkor és csak akkor, ha a módosított 1., a 2. vagy a 3. típusú Reidemeister-lépések sorozatával leírhatók. Egy adott csomónak végtelen sok kerete határozható meg: ha adott egy meghatározott keretű csomó, a meglévőből új keret kapható egy szalag elvágásával és 2π egész számú többszörösével való csavarásával, majd visszahelyezésével a vágás helyére. Így új keret kapható a régiből a keretes csomók ekvivalenciarelációja erejéig, meghagyva az eredeti csomót. Az ez értelemben vett keret a vektormező csomó körüli csavarodásainak számával függ össze. Annak ismerete, hányszor csavarodik a vektormező a csomó körül, lehetővé teszi a vektormező meghatározását diffeomorfizmus erejéig, és a keret ekvivalenciamezőjét teljesen ez az egész, a keretegész határozza meg. Csomókomplementer A 3-gömbben adott csomó komplementere a 3-gömbfelület csomón kívüli pontjai. A Gordon–Luecke-tétel kimondja, hogy legfeljebb 2 csomó – az eredeti csomó és annak tükörképe – rendelkezik homeomorf komplementerekkel. Így a csomók tanulmányozása egyben komplementereik tanulmányozása, és a 3-sokaság-elmélet része. JSJ-felbontás A JSJ-felbontás és Thurston hiperbolizációs tétele a 3-gömbfelületen belüli csomók tanulmányozását különböző geometriai sokaságok tanulmányozásává alakítja metszéssel vagy szatellitműveletekkel. A képen látható csomóban a JSJ-felbontás a komplementert 3 sokaság uniójává bontja: két lóhere-komplementerre és a Borromeo-gyűrűk komplementerére. A lóhere-komplementer , míg a Borromeo-gyűrűk komplementere geometriájával rendelkezik. Harmonikus csomók A csomók paraméteres felírásai a harmonikus csomók. Aaron Trautwein minden legfeljebb 8 metszésszámú csomó paraméteres felírásait leírta doktori disszertációjában.
A gráfelméletben bélyegkép|350px|A legfeljebb 7 metszést tartalmazó prímcsomók és a triviális csomó csomódiagram és mediális gráf szerint Mediális gráf
bélyegkép|150px bélyegkép|150px|Csomódiagramhoz rendelt előjeles síkgráf. bélyegkép|150px|Bal irányítás bélyegkép|150px|Jobb irányítás A csomódiagramok másik hatékony felírásátEntrelacs.net tutorial Peter Tait vezette be 1877-ben.
Bármely csomódiagram meghatároz olyan síkgráfot, melynek csúcsai a metszések, és élei az egymást követő metszések közti utak. E síkgráf 1 lapja végtelen, a többi 2 dimenziós lemezzel homeomorf. Ezek világossal és sötéttel színezhetők úgy, hogy a végtelen lap sötét, és bármely két szomszédos lap ellentétes színű. A Jordan-görbetétel szerint pontosan 1 ilyen színezés van.
Szerkeszthető új síkgráf, melynek csúcsai a világos lapok, és élei a metszéseknek felelnek meg. A gráf élei balként és jobbként jelölhetők meg aszerint, mely szál megy a másik felett az él egyik végpontja felől nézve. A bal és jobb éleket általában +, illetve − jelekkel vagy folytonos, illetve szaggatott vonalakkal jelölik.
Az eredeti csomódiagram ennek az új síkgráfnak mediális gráfja, ahol minden metszés típusát a megfelelő él előjele mutatja. Az összes él előjelének megváltoztatása a csomó tükrözését jelenti. Lánc- és csomómentes beágyazás
bélyegkép|A Petersen-család 7 gráfja. A gráfok nem ágyazhatók be láncmentesen 3 dimenziós térbe. 2 dimenzióban csak a síkbarajzolható gráfok ágyazhatók euklideszi síkba egymást metsző élek nélkül, de a 3 dimenziós térben minden gráf rendelkezik metsző élek nélküli beágyazással. A síkbarajzolható gráfok térbeli megfelelői a láncmentes beágyazással és a csomómentes beágyazással rendelkező gráfok. Láncmentes a gráf azon beágyazása, melyre teljesül, hogy bármely két kör lánca triviális lánc, csomómentes a gráf azon beágyazása, melynél minden kör triviális csomót alkot. A láncmentes beágyazású gráfok tiltott gráfjai a Petersen-család tagjai, vagyis a 7 minimális eredendően láncolt gráf: bármely beágyazásuk legalább 2 egymással kapcsolt kört ad.. A csomómentes beágyazású gráfokról nincs teljes ismeret, de a teljes gráf az egyik minimális tiltott gráf a csomómentes beágyazás terén: bárhogy van beágyazva, tartalmaz lóherecsomót alkotó ciklust. Általánosítás A modern matematikában a csomó fogalmát alkalmanként a beágyazásokhoz kapcsolódó általánosabb fogalomként használják. Adott részsokaságú sokaság esetén csomó lehet -ben, ha van -nek -nel nem izotóp beágyazása -ben. A hagyományos csomók azt az esetet alkotják, ahol és vagy .
A Schoenflies-tétel kimondja, hogy a kör a 2-gömbfelületen csomómentes: minden 2-gömbfelületen felvett topológiai kör izotóp a geometriai körrel. Az Alexander-tétel szerint a 2-gömbfelület a 3-gömbfelületben nem alkot sima (vagy szelíd) csomót. A szelíd topológiai kategóriában ismert, hogy az -gömbfelület nem alkot csomót az -gömbfelületben tetszőleges egészre. Ez Morton Brown, Barry Mazur és Marston Morse tétele. Az Alexander-gömb példa olyan csomós 2-gömbfelületre a 3-gömbfelületben, mely nem szelíd. A sima -gömbfelületről ismert, hogy az -gömbfelületben nem alkot csomót, ha . Az eset hosszú ideje megoldatlan probléma, mely ama problémával áll kapcsolatban, hogy a 4-gömb egzotikus sima felületet alkot-e.
André Haefliger bizonyította, hogy nincs sima dimenziós csomó -ben, ha , és további példákat adott csomós gömbfelületekre minden esetére, ahol . a csomó kodimenziója. Haefliger munkásságának fontos része, hogy -be való beágyazásai izotópiaosztályai csoportot alkotnak az összefüggő összeg csoportosítási műveletével, ha a kodimenzió 2-nél nagyobb. Haefliger munkája Stephen Smale's h-kobordizmus-tételén alapul. Smale egyik tétele, hogy 2 feletti kodimenziójú csomók esetén még a nem ekvivalens csomók komplementerei is diffeomorfak. Ez megkülönbözteti a 2 kodimenziójú csomóelmélettől. Topológiai vagy PL-izotópiák megengedése esetén Christopher Zeeman bizonyította, hogy a gömb nem alkot csomót 2 feletti kodimenzióban. Megjegyzések
Hivatkozások
Források
Kategória:Csomóelmélet