jobbra|320px|bélyegkép|Szabályos ötszálú fonat. Minden nyíl a további 2 elemét határozza meg. A matematikában az szálú fonatcsoport (), más néven Artin-fonatcsoport az a csoport, melynek elemei -fonatok ekvivalenciaosztályai (például környezeti izotópia erejéig, és melynek csoportművelete a fonatok összeadása. A fonatcsoportok alkalmazásai közé tartozik a csomóelmélet, ahol bármilyen csomó felírható fonatok lezártjaként az Alexander-tétel alapján; a matematikai fizika, ahol Emil Artin kanonikus fonatcsoport-leírása megfelel a Yang–Baxter-egyenletnek, és az algebrai geometria monodrómiainvariánsai.
Példa E példában legyen , ez alapján további -értékekre könnyű általánosítani. Adott két 4 elemű halmaz egymás mellett, melyek elemei függőleges vonalban vannak. Az alábbi képeken ezek fekete pontok. 4 vonallal a két halmaz minden eleme 1 másikhoz van rendelve, bijektív hozzárendelést adva. E csatlakozás a fonat. Gyakran egyes fonalak egymás alatt vagy felett haladnak át, ami alapvető fontosságú: az alábbi két csatlakozás különböző fonat: A fonat≠a fonattól Azonban két, a fonalak „meghúzásával” azonossá tehető fonat azonos: A fonat= Minden fonál balról jobbra halad, így például az alábbihoz hasonló csomók nem fonatok: Nem fonatnem fonat Bármely két fonat összeadható az egyik másik mellé rajzolásával, a középső elemek azonosításával és a megfelelő vonalak összekötésével: Fájl:braid s3.pngésFájl:braid s2.pngösszegeFájl:braid s3s2.png Másik példa: Fájl:braid s1 inv s3 inv.png és Fájl:braid s1 s3 inv.png összege A és fonatok összege .
A 4 elemű fonatok halmazát -ként jelölik. A fonatok fenti összeadása valóban csoportművelet. Az egységelem 4 párhuzamos vízszintes fonál fonata, a fonatok inverze az a fonat, mely az első fonat általi hozzárendelést „visszavonja”, ami megkapható a fentihez hasonló diagramok megfordításával a középen áthaladó függőleges vonal mentén (az első két példa egymás inverze).
Alkalmazás A fonatelméletet a 2010-es évektől alkalmazzák a folyadékmechanika területén, azon belül a kaotikus keveredés területén. A fizikai rudak, periodikus keringések vagy „szellemrudak” mozgása alkotta dimenziós téridőpályák fonódása és a majdnem invariáns halmazok használatosak a mesterséges és természetes folyadékrendszerek topológiai entrópiájának becsléséhez a Nielsen–Thurston-besorolás használatával.
A fonatcsoportok és kapcsolódó topológiai fogalmak másik alkalmazási területe a kvantumfizika területén az anyonok elmélete és feltételezett kísérleti megvalósítása. Ezeket a hibajavításos kvantumszámítógépek alapjaként javasolták, így absztrakt tanulmányozásuk alapvető fontosságú a kvantuminformáció terén.
Formális kezelés A fonatcsoportok fenti informális leírásának formális megerősítéséhez az algebrai topológia homotópiafogalma kell, ahol a fonatcsoportok a konfigurációstér alapcsoportjai. Ezenkívül a fonatcsoport meghatározható tisztán algebrai úton a fonatkapcsolatokkal, a képeket az intuíció segítésére használva.
Az Artin értelmében vett fonatcsoport alapcsoportra való redukciójához legyen legalább 2 dimenziós összefüggő sokaság. példányának szimmetrikus szorzata , vagyis -szeres Descartes-szorzatának hányadosa az szálú szimmetrikus csoport koordinátaindexeken végzett permutációs műveletével. Tehát egy rendezett -es és annak minden permutációja azonos pálya eleme.
Az -szeres szimmetrikus szorzatban lévő út absztrakt mód pontja tárgyalására, melyek rendezetlen -est alkotnak, és egymástól függetlenül alkotnak fonált. Mivel szükséges, hogy a fonalak nem haladnak át egymáson, szükséges áttérni a szimmetrikus csoport alterére, mely különböző pontok -eseiből áll, vagyis egyik olyan altere se szerepel -ban, ahol bármely esetén. Ez a szimmetrikus csoport szempontjából invariáns, és a kizáratlan -esek szimmetrikus csoportjával vett hányados. A dimenziófeltétel értelmében összefüggő.
E definíció értelében fonalas fonatcsoportja alapcsoportja (bármely bázispontot kiválasztva ez jóldefiniált izomorfizmus erejéig). Az eset Artin eredetileg tárgyalt esetével azonos. Egyes esetekben magasabb homotópiacsoportjai triviálisak. Zárt fonatok Ha X a sík, a fonat lehet zárt, vagyis a megfelelő végek párokban csatlakozhatnak, láncot alkotva, vagyis 3 dimenziós csomók összekapcsolható unióját. A lánc elemszáma 1 és n között bármennyi lehet, és a lánc által meghatározott permutációtól függ. Az Alexander-tétel alapján minden lánc megkapható így mint egy fonat lezártja.
A különböző fonatok azonos láncot eredményezhetnek, ahogy a különböző metszetdiagramok azonos csomót eredményezhetnek. 1935-ben Andrey Markov 2 ekvivalens zárt fonatokat eredményező lépést írt le a fonatdiagramokon. A Markov-tétel egylépéses változatát Lambropoulou és Rourke közölték 1997-ben.
Vaughan Jones a Jones-polinomot eredetileg fonatinvariánsként definiálta, és kimutatta, hogy csak a zárt fonat osztályától függ.
A Markov-tétel meghatározza a szükséges és elegendő feltételeket, melyek értelmében két fonat lezártja ekvivalens lánc.
Fonatmutató A fonatmutató a lánc zárt fonatkénti leírásához szükséges fonalak legkisebb száma. Ekvivalens a csomó leírásában lévő Seifert-körök legkisebb számával.
Történet A fonatcsoportokat Emil Artin vezette be explicit módon 1925-ben, bár – ahogy Wilhelm Magnus kimutatta 1974-ben – implicit módon már Adolf Hurwitz monodrómia témájában írt 1891-es munkájában is szerepelt.
A fonatcsoportok leírhatók explicit leírásokkal, ahogy Artin 1947-ben igazolta. A fonatcsoportok ezenkívül mélyebb matematikai interpretációval is rendelkeznek: ezek meghatározott konfigurációterek alapcsoportjai.
Magnus szerint Hurwitz adta a fonatcsoport konfigurációtér-alapcsoportkénti interpretációját, mely elveszett, amíg Ralph Fox és Lee Neuwirth újra felfedezték 1962-ben.
Alapjellemzők Generátorok és kapcsolatok Adott az alábbi 3 fonat:
Fájl:braid s1r.pngFájl:braid s2r.pngFájl:braid s3r.png minden fonata felírható e fonatok és inverzeik összegeként. Más szóval e három fonat generátorhalmaza. Ehhez egy tetszőleges fonat elemezhető balról jobbra kereszteződések keresésével. A fonalak fentről lefelé történő számozásával, ha az . és . fonalak egymást metszik, vagy írható fel attól függően, hogy az . vagy az . fonál van felül. A jobb szél elérésekor a fonat fel lett írva és inverzei szorzataként.
Egyértelmű, hogy: (i) , de a másik két egyenlőség nem ily egyértelmű: (iia) , (iib) . Ezek legjobban a fonat felrajzolásával igazolhatók. Igazolható, hogy fonatok minden kapcsolata következik ezekből és a csoportaxiómákból.
E példa általánosítása fonálra, a csoport absztrakt módon definiálható az alábbi leírással:
ahol az első relációcsoportban , a másodikban . Így a fonatcsoportok általánosíthatók, létrehozva az Artin-csoportokat. A harmadfokú relációk, a fonatrelációk a Yang–Baxter-egyenletek elméletében fontosak. További jellemzők A fonatcsoport triviális csoport, a végtelen ciklikus csoport, és izomorf a lóherecsomó csomócsoportjával – egészen pontosan végtelen nem abeli csoport. részcsoportja: utóbbi előbbiből származtatható az első szálat nem metsző szál hozzáadásával. Az összes uniója, ahol , a végtelen fonatcsoport. minden nem identikus eleme végtelen rendű, vagyis torziómentes. Balinvariáns lineáris rendezés van -en, ez a Dehornoy-rendezés. -ra tartalmaz a kétgenerátoros szabad csoporttal izomorf részcsoportot. Van által meghatározott homomorfizmus. Így például a hozzárendelési értéke . E hozzárendelés megfelel a fonatcsoport abelizációjának. Mivel akkor és csak akkor identikus, ha . Tehát a generátorfüggvény végtelen rendű.
Kapcsolatok Kapcsolat a szimmetrikus csoporttal és a tiszta fonatcsoporttal A fonalak csavarodását és kereszteződését figyelmen kívül hagyva az tagú fonat egy-egy elemű permutációnak felel meg. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és összevonható, így szürjektív csoporthomomorfizmus a fonatcsoportról a szimmetrikus csoportra. A fonat képe az . E transzpozíciók alkotják a szimmetrikus csoportot, megfelelnek a fonatcsoport-relációknak, és 2. rendűek. Ez a fonatcsoport Artin-leírását a szimmetrikus csoport Coxeter-leírásává alakítja:
A homomorfizmus magja részcsoportja, az fonalú tiszta fonatcsoport, röviden . Ez az euklideszi sík különböző pontból álló -esei terei alapcsoportja. Egy tiszta fonatban a fonalak eleje és vége egy helyen van. A tiszta fonatcsoportok az alábbi rövid pontos sorozatnak felelnek meg:
E szakasz elválik, így a tiszta fonatcsoportok a szabad csoportok ismételt féldirekt szorzatai. és a moduláris csoport kapcsolata bélyegkép|376px| a moduláris csoport univerzális központi kiterjesztése.
A fonatcsoport a moduláris csoport univerzális központi kiterjesztése, ahol az rács az alábbi topológiai univerzális fedőcsoportban: . Ezenkívül a moduláris csoport központja triviális, így az izomorf hányadoscsoportjával központja () erejéig, így belső automorfizmusai csoportjára nézve is.
Itt ez izomorfizmus megszerkesztése. Legyen . A fonatrelációkból következik, hogy . Ez utóbbi szorzatot -vel jelölve a fonatrelációkból következik, hogy: , vagyis központjában van. Legyen által generált részcsoportja. Mivel , az normál részcsoport, így a hányadoscsoport létezik. Ha , ez izomorfizmus explicit formával rendelkezhet. A és mellékosztályok az alábbiakhoz rendelhetők:
ahol és a Stern–Brocot-fa szabványos bal és jobb lépései; ismert, hogy e lépések a moduláris csoportot adják.
A moduláris csoport másik gyakori leírása:
ahol
-hez és -hez való rendelése szürjektív homomorfizmust ad.
központja egyenlő -vel, mivel a központban van, a moduláris csoport központja triviális, és a fenti szürjektív homomorfizmus központja .
Kapcsolat a hozzárendelési osztálycsoporttal és a fonatosztályozás A fonatcsoport izomorf az lyukú átszúrt kör hozzárendelésiosztály-csoportjával. Ez legegyszerűbben minden lyukat egy fonállal a kör határvonalához kötve jeleníthető meg: minden, két lyuk permutációjával keletkező hozzárendelési homomorfizmus ezután a fonalak homotópiájának, vagyis a fonalak összefonásának tekinthető.
A hozzárendelésiosztálycsoport-interpretáció alapján minden fonat besorolható a Nielsen–Thurston-csoportosítás alapján periodikus, redukálható vagy a pszeudoanoszovi kategóriákba. Kapcsolat a csomóelmélettel Ha adott egy fonat, és az első bal elem az első jobb elemmel, a második bal elem a második jobb elemmel stb. összeköttetik (az új fonalakban fonatok nélkül), az eredmény lánc, és alkalmanként csomó. Alexander tétele a fonatelméletben kimondja, hogy a fordítottja is igaz: minden csomó és lánc ugyanígy felírható fonatból, mely a lánc elvágásával kapható. Mivel a fonatok a generátorok szavaiként megadhatók, ez gyakran a csomók programokba való bevitelének preferált módja. Számítástechnikai jelentőség A fonatrelációk szóproblémája hatékonyan megoldható, és elemeinek létezik normálformája a generátorok tekintetében. (Gyakorlatilag a fonat normálformája a szálak meghúzásának algebrai megfelelője, ahogy a fenti 2. képsorban látható.) A szabad GAP algebrai rendszer képes -ben végeztt számításokra, ha az elemek e generátorok alapján vannak megadva. Van ezenkívül GAP 3-hoz egy kifejezetten fonatcsoportokat támogató CHEVIE csomag is. A szóprobléma ezenkívül hatékonyan megoldható a Lawrence–Krammer-leírás alapján is.
A szóprobléma mellett tbb ismert nehéz számítási probléma is van fonatcsoportokkal, a kriptográfia területén is használható lehet a fonatelmélet. Műveletek A szimmetrikus csoport permutációs hatásai mellett több különböző matematikai területen az -esekből álló fonatcsoportnak vagy az -szeres tenzorszorzatnak van természetes hatása bizonyos „csavarokkal”. Adott tetszőleges csoport, és legyen elemeinek minden, egységelemét adó szorzatú -eséből álló halmaz. Ekkor -re az alábbiak szerint hat: