Az algebrában egy homomorfizmus magja leírja, hogy a leképezés értelmezési tartományának elemei hogyan kötődnek a leképezés képében.McKenzie, McNulty & Taylor 1987, pp. 27–29 A mag pontos definíciója a mögöttes algebrai struktúrától függ, például ha azt feltételezzük, hogy a leképezés egy csoportok közötti homomorfizmus, ekkor a leképezés magja a csoport identitáselemének ősképe.Dummit & Foote 2004, p. 75 Csoportszerű struktúrák homomorfizmusainak magja akkor és csak akkor tartalmazza kizárólag az egységelemet, ha a leképezés injektív. Ebben az értelemben, egy homomorfizmus magja arra enged következtetni, hogy a leképezés mennyire van távol az injektivitástól.Dummit & Foote 2004, p. 97
Bizonyos struktúrák, például kommutatív csoportok és vektorterek esetén egy leképezés magja mindig az adott struktúra részstruktúrája, azonban ez nem minden esetben teljesül. Bizonyos magoknak saját nevet adtak, csoportok esetén ilyen a normálosztó,Dummit & Foote 2004, p. 82 gyűrűk esetén pedig a kétoldali ideál.Dummit & Foote 2004, pp. 239–247
A mag segítségével lehetséges algebrai struktúrák hányadosait venni. Az egyik legfontosabb kapcsolódó eredmény az első izomorfizmustétel, amely kimondja, hogy egy csoporton értelmezett csoporthomomorfizmus képe izomorf egy normálosztójával.
Definíciói és tulajdonságai Csoporthomomorfizmusok esetén Legyenek és csoportok, és neutrális elemekkel. Egy leképezést akkor hívunk csoporthomomorfizmusnak, ha minden -re teljesül .Fraleigh, Katz 2003, p. 125 Az leképezés magjának hívjuk az egyelemű halmaz ősképét, tehát minden olyan elemet -ben, melyre hatva -t kapunk. Az homomorfizmus magját általában jelöli, a definícióját pedig a következőképp írhatjuk:
Mivel a csoporthomomorfizmusok neutrális elemből neutrális elemet képeznek, ezért . Az leképezés akkor és csak akkor injektív, ha .Hungerford 2014, p. 264
Az csoporthomomorfizmus magja részcsoportja, pontosabban normálosztója -nek. A hozzátartozó faktorcsoportot jelöli, amely izomorf -vel (a csoport homomorfizmus szerinti képével) az első izomorfizmustétel következtében.
Gyűrűhomomorfizmusok esetén Egy gyűrű az összeadásra nézve egy kommutatív csoport, így egy gyűrűhomomorfizmus magja a mögöttes csoportstruktúra szerinti magként van definiálva.Fraleigh & Katz 2003, p. 238 Pontosabban megfogalmazva, ha és gyűrűk, pedig egy gyűrűhomomorfizmus, akkor
ahol az összeadásra tekintett egységeleme -nek. Ha a gyűrűknek a szorzásra tekintve is van egységeleme (és a homomorfizmus erre a struktúrára is kiterjed), akkor egy kétoldali ideál, ezáltal definiálható az faktorgyűrű és az első izomorfizmustétel is teljesül, tehát izomorf képével. Fontos kiemelni, hogy amíg képe részgyűrűje -nek, addig nem feltétlenül részgyűrűje -nek.
Lineáris leképezések esetén
A lineáris leképezések a vektorterek homomorfizmusai. Legyenek és vektorterek, pedig egy lineáris leképezés. Jelölje a vektortér nullvektorát, akkor magja (más néven magtere vagy nulltere) a következő:
A lineáris leképezések megtartják a nullvektorokat, így . A leképezés akkor és csak akkor injektív, ha a magja a nullvektortér.Axler 2024, p. 60
Egy lineáris leképezés magja mindig lineáris altere -nek, és a csoporthomomorfizmusokhoz hasonlóan teljesül az első izomorfizmustétel, tehát a hányadostér izomorf képterével. Ebből következik, hogy ha dimenziója véges, akkor teljesül a dimenziótétel is, miszerint dimenziója megegyezik bármely rajta definiált lineáris leképezés nullterének és képterének dimenziójának összegével.Dummit & Foote 2004, p. 413
Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezéseket reprezentálhatunk mátrixokként. Az lineáris leképezés magja pontosan az mátrixegyenlet megoldáshalmaza. A mátrixegyenlet ekvivalens egy homogén lineáris egyenletrendszerrel, ahol dimenzióját , dimenzióját pedig jelöli:
Az mátrixegyenletből következik, hogy akkor és csak akkor eleme -nek, ha merőleges mátrixának minden sorvektorjára. A mátrix sorvektorjai ezáltal pontosan ortogonális komplementerének generátorrendszere.
Egy lineáris leképezés magja az inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásainak leírásában is hatékony. Ha és megoldásai az egyenletrendszernek, akkor a különbségük a leképezés magjának eleme:
Ennek következtében, az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza megadható egy megoldás és ismeretében:
Geometriai értelemben, a egyenletrendszer megoldáshalmaza pontosan magjának általi eltolásával kapható meg.
Modulushomomorfizmusok esetén Legyenek és modulusok és legyen egy modulok közötti homomorfizmus. Definíció szerint magja a következő:Dummit & Foote 2004, pp. 345–346
A homomorfizmus magja részmodulusa.
Kommutatív csoportok homomorfizmusainak magjai értelmezhetőek modulushomomorfizmusként is, ha a modulus definíciója mögötti gyűrű az egész számok gyűrűje.
Példák Csoporthomomorfizmusok magjai Ha egy csoportizomorfizmus, akkor .Dummit & Foote 2004, pp. 78–80 Ha egy csoporthomomorfizmus, pedig a triviális csoport, akkor bármely -re, tehát . Legyen a hatelemű ciklikus csoport, a 6 szerinti maradékosztály összeadási műveletével, hasonlóképp legyen a kételemű ciklikus csoport a 2 szerinti maradékosztály összeadásával. Ha , akkor . A normálosztónak két eleme van: és , továbbá izomorf -val. Jelölje a körcsoportot, amely olyan komplex számok csoportja, amelyek abszolút értéke 1. Legyen , melynek magja . Az első izomorfizmustétel következtében .Rotman 2002, pp. 86–87 Az általános lineáris csoportban (az invertálható valós mátrixok csoportja) a determináns egy homomorfizmusként értelmezhető: , ahol a nemnulla valós számok csoportja a szorzás műveletével. A leképezés magja a speciális lineáris csoport , olyan valós mátrixok csoportja, melynek determinánsa 1.Rotman 2002, p. 76 Jelölje a kvaterniócsoportot, pedig a Klein-csoportot. A leképezés egy homomorfizmus, melynek magja . Az szimmetrikus csoportra definiálható egy szürjektív homomorfizmus , mely minden permutációhoz hozzárendeli a paritását. A leképezés magja az elemű alternáló csoport, tehát . Ha , akkor az alternáló csoport egy nemkommutatív egyszerű csoport.Dummit & Foote 2004, pp. 106–111 Legyen egy csoport és legyen . Ekkor bármely -re a leképezés egy automorfizmus. Az automorfizmusok csoportot alkotnak, jelölés szerint . A homomorfizmus magja a csoport centruma , mely az összes olyan elemet tartalmazza, melyre teljesül bármely -re.Dummit & Foote 2004, pp. 133–134
Jegyzetek
Fordítás
Források
Kapcsolódó szócikkek Fredholm-alternatíva Zérushely
Kategória:Algebra Kategória:Csoportelmélet