Az algebrában grupoidMaurer Gyula, Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe. Dacia könyvkiadó (Ko1ozsvár, 1976).A grupoidokat egyes szerzők néha monoidoknak is nevezték, újabban azonban ezt a megnevezést inkább csak az úgynevezett egységelemes asszociatív grupoidra alkalmazzák. – más néven magmaA bourbakisták a „magma” terminust vezették be eredetileg a grupoidokra. A „grupoid” név talán az angol „group-oid”, azaz „csoport-szerű” kifejezésből ered, és valószínűleg arra utal, hogy a grupoidok „olyanok, mint a csoportok (csak jóval kevesebbet tudnak)”. A csoport nevű matematikai struktúra valóban a grupoid egy specializációja. Egyébként a grupoid nem csak a csoportok, hanem az összes egyműveletes struktúra primitív „prototípusát” is jelenti, de az egyműveletes struktúrák közül a csoport a legfontosabb és – úgy látszik – „legmagasabbrendűnek” tartott (és ezt fedezték fel elsőként az ilyen struktúrák között): a többi fontos egyműveletes struktúra (félcsoport, kvázicsoport) is a csoportról lett elkeresztelve. – alatt egy olyan egyműveletes algebrai struktúrát értünk, amelyben az egyetlen definiált művelet egy kétváltozós művelet.
A grupoid a lehető legáltalánosabb és legegyszerűbb algebraistruktúra-típus, amely még nem teljesen üres, jelentősége ebben nagyjából ki is merül.
Definíció Formálisan a grupoid egy pár, ahol tetszőleges halmaz, pedig egy kétváltozós művelet.
Általában az elemet infix jelölésmóddal, módon jelöljük.
A műveletet sokszor vagy szimbólummal jelöljük, az első jelölésmódot különösen akkor alkalmazzuk, ha a művelet kommutatív (tetszőleges elemekre ), a másodikat pedig, ha asszociatív (tetszőleges elemekre ). Az első esetben a grupoid összeadó vagy additív írásmódjáról beszélünk, és a műveletet összeadásnak nevezzük, a második esetben a grupoid szorzó vagy multiplikatív írásmódjáról, és a művelet neve szorzás.
Az (U, *) grupoid U tartóhalmazának vagy univerzumának számosságát (elemeinek számát) a grupoid rendjének nevezzük. Kiszámolható, hogy véges, n-edrendű grupoid (az izomorf példányokat egynek számítva) pontosan darab van.
Speciális grupoidok Fontosabb típusok
A grupoid fogalmának önmagában nem sok értelme van (külön róluk szóló jelentős cikkek, kutatási irányok stb. nem igazán lelhetőek fel). Különféle, kevésbé általános alesetei azonban nagyon fontosak:
Speciális, kitüntetett elemekkel bíró grupoidféleségek:
neutrális elemes vagy unitér grupoidban van egy neutrális elem, azaz olyan U-beli n elem, melyre tetszőleges U-beli x esetén x*n = n*x = x. Belátható, hogy legfeljebb egy neutrális elem létezik egy grupoidban, ezt összeadó írásmód esetén nullelemnek, szorzó írásmód esetén egységelemnek nevezzük; zéruselemes grupoidban van egy zéruselem, azaz olyan U-beli z elem, melyre tetszőleges U-beli x esetén x*z = z*x = z. Belátható, hogy legfeljebb egy zéruselem létezik egy grupoidban.
Azonosságokkal definiált grupoidosztályok:
idempotens, ha tetszőleges U-beli x elemre x*x = x; kommutatív egy grupoid, ha * kommutatív művelet, azaz tetszőleges U-beli x, y elemekre x*y = y*x; asszociatív egy grupoid, ha * asszociatív művelet, azaz tetszőleges U-beli x, y, z elemekre (x*y)*z = x*(y*z); az asszociatív grupoidokat félcsoportnak szokás nevezni. monoidnak a neutrális elemes asszociatív grupoidokat, azaz a neutrális elemes félcsoportokat nevezzük. reguláris grupoid vagy egyszerűsíthető grupoid: tetszőleges U-beli x, y, z elemekre x*y = x*z esetén x zéruselem vagy y = z (balregularitás); és x*y = z*y esetén y zéruselem vagy x = z (jobbregularitás). invertálható a grupoid – más néven kvázicsoport – ha tetszőleges U\{0}-beli x, y elemekre (0 a zéruselem, ha van) az ?*x = y és az x*? = y egyenleteknek (? az „ismeretlen”) is van egy és csak egy megoldásuk, azaz egyértelműen vannak olyan a, b U-beli elemek, hogy a*x = y és x*b = y teljesüljön. Megjegyzés: fel szoktuk tenni még azt is, hogy U nem üres. hurok: a neutrális elemes kvázicsoportokat nevezzük így – azaz olyan grupoidokat, melyek egyszerre monoidok és kvázicsoportok. Ha egy kvázicsoport asszociatív (azaz félcsoport is, tehát csoport is), akkor automatikusan neutrális elemes. Csoporton olyan grupoidot értünk, mely egyszerre monoid, félcsoport és kvázicsoport; azaz a * műveletre nézve van neutrális elem, továbbá a művelet asszociatív és invertálható. Be lehet látni (ld. a példákat), hogy elegendő csak azt megkövetelni, hogy fél- és kvázicsoport legyen (azaz * asszociativitását és invertálhatóságát), mert az invertálhatóságból és az asszociativitásból együtt a neutrális elem léte következik. Megjegyzések: Egy kommutatív grupoid nem szükségszerűen asszociatív, például a nemnegatív számok halmaza a számtani közép képzésének műveletére () kommutatív (), de nem asszociatív (). Fordítva, egy asszociatív grupoid sem mindig kommutatív, például az összes valós-valós függvény a kompozíció műveletével egy asszociatív grupoid (a függvénykompozíció mindig asszociatív, bármilyen halmaz felett), de az és függvények (a kétszerezés és a négyzetre emelés) nem cserélhetőek fel (fg[x] = g(f(x)) = (2x)(2x) = 4x2, de gf[x] = f(g(x)) = 2(xx) = 2x2, azaz ). Egy invertálható grupoid, azaz egy kvázicsoport mindig reguláris. Biztosan balreguláris: ha ab=ac=d, akkor d=ab és d=ac. Az invertálhatóság miatt ekkor a d=a*? egyenlet két b,c megoldása egyenlő (hiszen egyértelműen kell hogy létezzenek a megoldások), azaz b=c. Hasonlóan belátható, hogy * jobbreguláris; összességében tehát reguláris. Fordítva azonban nem igaz: reguláris grupoid ugyan (a+z = b+z esetén a = b); de nem invertálható (az a+x = b egyenletnek ugyanis nem mindig van megoldása, csak ha a ≤ b – pontosan ez a ≤ reláció definíciója).
Továbbiak
balról neutrális elemes grupoid: van olyan b ∈ U, hogy b*x = x (bármely x ∈ U-ra); jobbról neutrális elemes grupoid: van olyan j ∈ U, hogy x*j = x (bármely x ∈ U-ra)
Egy grupoid akkor és csak akkor neutrális elemes, ha balról is és jobbról is az (nyilvánvaló, hogy ha van neutrális elem, akkor az bal- és jobbneutrális egyszerre, fordítva pedig ha van bal- és jobbneutrális elem, könnyű belátni, hogy egyenlőek, így neutrálisak is – ld. még itt).
balról reguláris (vagy balról egyszerűsíthető) egy grupoid, ha * balról reguláris (-egyszerűsíthető) művelet, azaz tetszőleges U-beli x,y,z elemekre x*y = x*z esetén x zéruselem vagy y = z; jobbról reguláris (vagy jobbról egyszerűsíthető) egy grupoid, ha * jobbról reguláris ( -egyszerűsíthető) művelet, azaz tetszőleges U-beli x,y,z elemekre x*y = z*y esetén y zéruselem vagy x = z (jobbregularitás).
Természetesen a grupoid akkor és csak akkor reguláris, ha balról és jobbról is reguláris.
unipotens grupoid: érvényes x*x = y*y tetszőleges x,'y ∈ U -ra; zérópotens grupoid: érvényes (x*x)*y = x*(y*y) = x*x; mediális grupoid: érvényes (x*y)*(u*z) = (x*u)*(y*z) tetszőleges x,'y,'u,'z U-beli elemekre; balról szemimediális grupoid: érvényes az (x*x) * (y*z) = (x*y) * (x*z) azonosság; jobbról szemimediális grupoid: érvényes az (y*z) * (x*x) = (y*x) * (z*x) azonosság, szemimediális grupoid: balról és jobbról is szemimediális; balról öndisztributív: érvényes az (x)*(y*z) = (x*y) * (x*z) azonosság, jobbról öndisztributív: érvényes az (y*z)*x = (y*x)*(z*x), auto- (ön-) disztributív grupoid: balról és jobbról is disztributív. alternatív grupoid: érvényesek az (x*x) * y = x * (x*y) és az x * (y*y) = (x*y) * y azonosságok, Steiner-kvázicsoport: Idempotens, kommutatív grupoid az x(xy)=y azonossággal.Burris, S. - Sankappanavar, H. P.: Bevezetés az univ. algebrába. Tankönyvkiad., Bp., 1988. .
Példák
Mivel gyakorlatilag bármilyen algebrai struktúra egyben grupoid is, példákat hozunk az egyes speciális grupoidokra:
Idempotens grupoidok Az egész számok halmaza vagy a nemnulla egész számok halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével (ez tehát négy grupoid); egy U halmaz hatványhalmaza az unió, ill. a metszet műveletével; ... ellenpélda, ha mondjuk a szimmetrikus differencia műveletét vesszük (amely nem idempotens); mellesleg ez a grupoid unipotens, ha , akkor ;
Neutrális elemes és zéruselemes grupoidok Az egész számok a legnagyobb közös osztó műveletével, neutrális elem a 0, zéruselem az 1. Az egész számok a legkisebb közös többszörös műveletével, neutrális elem az 1, zéruselem a 0. egy U halmaz hatványhalmaza az unió műveletével, a neutrális elem az üres halmaz; a zéruselem maga az U; egy U halmaz hatványhalmaza a metszet műveletével, a neutrális elem maga az U; a zéruselem az üres halmaz; Egy U halmaz hatványhalmaza a szimmetrikus differencia műveletével, neutrális elem az üres halmaz; zéruselem viszont általában nincs; neutrális elemes grupoid továbbá a valós számok halmaza az összeadás műveletével, a neutrális elem a nulla, zéruselem nincs; ez már nem idempotens; ... továbbá szintén a szorzás műveletével, a neutrális elem ekkor az 1; zéruselem a 0; ez sem idempotens.
Lásd még a neutrális elem és zéruselem cikkeket.
Kommutatív grupoidok egy U halmaz hatványhalmaza akár az unió, akár a metszet, akár a szimmetrikus differencia műveletével; Az egész számok halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével; az összeadás vagy a szorzás műveletével, A legfontosabb ellenpéldák: Egy adott A halmazt önmagára leképező függvények halmaza a függvénykompozíció (összetettfüggvény-képzés) műveletével; amely nem kommutatív (de asszociatív), vagy egy halmaz hatványhalmaza a különbségképzés műveletével, vagy a valós számok halmaza a kivonás műveletével; valamely test feletti n×n-es mátrixok halmaza a mátrixszorzás műveletével.
Asszociatív grupoidok (félcsoportok) és monoidok egy U halmaz hatványhalmaza akár az unió, akár a metszet, akár a szimmetrikus differencia műveletével; mindegyik kommutatív, idempotens és neutrális elemes; azaz mind monoid is; Az egész számok halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével; az összeadás vagy a szorzás műveletével, Egy adott A halmazt önmagára leképező függvények halmaza a függvénykompozíció (összetettfüggvény-képzés) műveletével; ez asszociatív és neutrális elemes, de nem kommutatív grupoid; valamely test feletti n×n-es mátrixok halmaza a mátrixszorzás műveletével, amely zéruselemes és neutrális elemes félcsoport (zéruselemes monoid); A neutrális elem szócikk 10. példája olyan (G, *b) és (G, *j) grupoidokra ad példát, melyek könnyen beláthatóan asszociatívak, de nem neutrális elemesek. Például a ×=*b műveletre nézve minden elem valódi bal oldali neutrális elem (bal oldali neutrális, de nem kétoldali neutrális), ezért neutrális elem nincs, tehát × nem monoid-művelet, de asszociatív, ugyanis (x×y)×z = y×z = z, és x×(y×z) = x×z=z, tehát az asszociativitás érvényes. Sokkal fontosabb ellenpélda nem-neutrális elemes félcsoportra: legyen a tartóhalmaz a pozitív valós számok halmaza, a művelet pedig a következő: x ∨ y = max{x, y}. Ez asszociatív művelet, de sem bal oldali, sem jobb oldali neutrális eleme nincs (ugyanis ez azt jelentené, hogy lenne egy pozitív szám, amely az összes többinél kisebb, illetve egy, amelyik nagyobb). További példákat a félcsoportokról szóló cikkben lehet találni; a legfontosabb ellenpéldák pedig: az egész számok halmaza a kivonással, ez nem idempotens (ámde unipotens), jobb oldali neutrális elemes, de nem neutrális elemes, nem zéruselemes, nem kommutatív és nem asszociatív kvázicsoport.
Reguláris és invertálható grupoidok, hurkok és csoportok az neutrális elemes kommutatív asszociatív grupoid (kommutatív félcsoport) reguláris, de nem invertálható. Egy A halmazt önmagára képező szürjektív függvények (a halmaz minden eleme előáll bármelyik függvény valamely helyen felvett értékeként, azaz bármelyik f függvényre R(f)=A ) neutrális elemes, általában nem kommutatív (de asszociatív) félcsoportot alkotnak. Ez a grupoid beláthatóan reguláris, noha általában nem invertálható.