Az algebrában nilpotens elemnek nevezzük a zéruselemes félcsoportok azon elemeit, amelyeknek létezik olyan hatványa, ami megegyezik a zéruselemmel. Gyűrűk esetében a gyűrű valamely elemét akkor mondjuk nilpotens elemnek, ha az adott elem nilpotens elem a gyűrű multiplikatív félcsoportjában.
Definíció Legyen tetszőleges zéruselemes félcsoport. Azt mondjuk, hogy az elem az A félcsoport nilpotens eleme, ha valamely esetén , ahol a félcsoport zéruseleme.
Legyen tetszőleges gyűrű. Akkor mondjuk az elem az R gyűrű nilpotens eleme, ha az elem nilpotens elem a gyűrű multiplikatív félcsoportjában.
Tulajdonságok A zéruselem mindig nilpotens elem. Ha valamely esetén , akkor minden -re is teljesül. A gyűrűk nemzérus nilpotens elemei zérusosztók. Kommutatív gyűrűben a nilpotens elemek ideált alkotnak. (Ha a gyűrű nem kommutatív, akkor nem biztos, pl. a 2×2-es valós mátrixok gyűrűjében sem teljesül.)
Hivatkozások Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
Kategória:Műveleti tulajdonságok