Dimenziótétel

A dimenziótétel vagy nullitás–rang tétel a lineáris algebrában alapvetően a véges dimenziós terek között ható leképezések magterének és képterének komplementer jellegére mutat rá. Ha φ lineáris leképezés egy n dimenziós térből valamely másikba hat, Ker φ = { v | φv = 0 } a φ magtere és Im φ a leképezés értékkészlete, mint altér, akkor dim Ker φ + dim Im φ = n Ugyanazon terek között ható két leképezés közül, amelyik magtérdimenziója nagyobb, annak a képtérdimenziója kisebb.

A tétel a dimenziók szerepeltetése nélkül tovább általánosítható nem feltétlenül véges dimenziós V1 térre is, a következő formában: Ker φ ⊕ Im φ ≅ V1 A tétel kapcsolatban van az első izomorfizmustétellel és az Abel-csoportok közötti morfizmusok dekompozíciós tételével.Itt az angolban Splitting Lemma néven ismert tételről van szó, lásd: Mac Lane, Birkhoff, Algebra, p. 328.

Dimenziótétel

Ha V1 véges dimenziós, V2 pedig tetszőleges lineáris tér, továbbá φ:V1 V2 lineáris leképezés, akkor

Bizonyítás Legyen dim V1 = n, dim Ker φ = k ≤ n és legyen Ker φ egy bázisa:Freud, Lineáris algebra könyvben található gondolatmenetét követjük. Lásd: p. 146

Mivel ez lineárisan független vektorrendszer V1-ben, ezért vannak

vektorok, melyekkel

V1 bázisa.

Belátjuk, hogy a cj-k képvektoraiból álló

vektorrendszer Im φ bázisát alkotja. Ezután már készen vagyunk, mert f elemszáma így m lesz és kapjuk: dim Im φ = m = n - k = dim V1 - dim Ker φ.

(1) F generálja Im φ-t. Legyen ugyanis φ(v) tetszőleges Im φ-beli vektor alkalmas v ∈ V1-vel. Ekkor v-hez egyértelműen léteznek a λi, μj skalárok, hogy:

ezért

azaz φ(v) már az F-beli vektorok lineáris kombinációjaként is előáll. Az előbb felhasználtuk, hogy a bi vektorok képe mind 0.

(2) F lineárisan független. Tegyük fel, hogy F elemei előállítják a 0 vektort alkalmas skalárokkal. Ekkor

azaz

Eszerint az előbbi vektor a Ker φ báziselemeinek egyértelmű lineáris kombinációjaként is előáll:

amiből

de a vektorok függetlenségéből következik, hogy ekkor

speciálisan .

Megjegyzés

A bizonyításból az is következik, hogy

Ker φ és a cj-k generálta altér direkt összegként állítják elő V1-et:

φ a cj-k generálta altérre leszűkítve az Im φ-be képező lineáris izomorfizmus.

Emiatt pedig V1 a mag- és a képtér direkt összegével izomorf:

Direktösszeg-felbontás Az univerzális algebra terminusaiban érvényes, hogy

egy rövid egzakt sorozat, azaz Im f = Ker g, hisz mindkettő a Ker φ.

Emiatt az Abel-csoportokra vonatkozó kategóriaelméleti dekompozíciós lemma gondolatmenetével is előállíthatjuk a direkt összeget.

Legyen Im φ egy bázisa

alkalmas c ∈ C ⊆ V1 vektorokkal. Ekkor C lineárisan független vektorrendszer, mert ha összefüggő volna, akkor a képe is összefüggő volna, ami viszont Im φ bázisa, tehát nem lehet összefüggő. Ez azt jelenti, hogy a

függvény lineáris izomorfizmus definiál a C által kifeszített altéren. Ebben az esetben is

és

Példa 1. Egy A mátrix esetén a v Av lineáris leképezés. Ennek a leképezésnek a magját az A mátrix magjának nevezzük.

Az

magja nem más, mint egy R3 egy origón áthaladó síkja:

A dimenziótétel segíthet abban, hogy megállapítsuk, hogy a sík valóban kétdimenziós. Világos, hogy Im A = rang A = 1, mert egyetlen sorból álló mátrixról van szó, így dim Ker A = 3 - 1 =2.

2. A dimenziótétel végtelen dimenziós terekre is igaz. Ekkor persze ugyanazok a paradoxonok lépnek fel, mint a számosságaritmetikában.

A T testbeli értékű sorozatok Tω terében az

leképezés lineáris,

így a dimenziótétel formulája átmegy az

egyenlőségbe.

Bár Im λ az egész tér mégis λ (a végesdimenziósokkal ellentétben) nem injektív, mivel Ker λ ≠ {0}.

Jegyzetek

Források Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998. Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Chelsea, 1999.

További információk PlanetMath: Rank–nullity theorem

Kategória:Lineáris algebra Kategória:Matematikai tételek