A Kőnig-egyenlőtlenség a halmazelmélet egyik tétele, amely Kőnig Gyula matematikustól származik. A tétel szerint ha a kiválasztási axióma igaz, tetszőleges indexhalmaz, és számosságok minden értékre, amire teljesül minden esetén, akkor
ahol a bal oldalon az számosságok összege, a jobb oldalon az számosságok szorzata áll.
E tétel következménye, hogy teljesül minden végtelen számosságra. Innen adódik minden , számosságra, speciálisan .
Bizonyítása Legyen , két, páronként diszjunkt halmazok sorozata, amire . Elég belátni, hogy van egy injektív, de nem bijektív
Legyen elem -ből -re. Legyen továbbá . Ekkor egyértelműen van egy , hogy . Legyen az a függvény, amire . Ekkor injektív.
Adva legyen most egy , és definiáljuk -t minden -re elemeként. Ekkor az helyen különbözik -beli képétől. Mivel ez minden -re teljesül, nem szürjektív, és így nem bijektív.
Források Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), . Kőnig Gyula: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177-180.
Fordítás
Kategória:Halmazelmélet Kategória:Halmazelméleti axiómarendszerek és megalapozási paradigmák Kategória:Matematikai tételek