frame|Húrnégyszögek köréjük írt köreikkel A húrnégyszög olyan négyszög, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Más megfogalmazásban, olyan négyszög, melynek oldalai egy kör húrjai. Speciálisan, húrnégyszögek az egyenlő szárú trapézok, amiket ezért húrtrapézoknak neveznek. Szintén speciálisak az olyan húrnégyszögek, melyeknek átlói merőlegesek egymásra.
Az a négyszög, amibe kör írható, érintőnégyszög.
Képletek A húrnégyszög adatai Terület Terület Oldalhosszak Félkerület Az átlók hossza A körülírt kör sugara Az első területképlet Brahmagupta tételeként ismert, melynek speciális esete, mikor d=0. Ezt a speciális esetet Hérón-képletként emlegetik, ami a háromszögek területének kiszámításának egy módszere. Ilyenkor a négyszög egyik oldala 0, így háromszöget kapunk. Néha az általános esetet is Hérón-képletnek nevezik. Egy további általánosítás Bretschneider képlete, ami a képletet korrigálja általános négyszögek számára:
ahol a korrekció húrnégyszög esetén nulla.
A húrnégyszögek tétele
Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege .
A tétel megfordítása
Ha egy négyszög két szemközti szögének összege , akkor az húrnégyszög.
Tétel bizonyítása
A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög szögéhez tartozó középponti szög . Az szöggel szemközti szöghöz tartozó középponti szög . A két középponti szög kiegészíti egymást (), így .
A tétel megfordításának bizonyítása
Az háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy erre illeszkedik. A kör húrja az pontból szög alatt látszik, pontból pedig szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a húr szög alatt látszik, az háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a -re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt négyszög konvex, így csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz négyszög húrnégyszög.
Ptolemaiosz tétele
A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő.
Bizonyítás: Azt kell megmutatnunk, hogy . Vegyünk fel az egyik átlón (pl. BD-n) egy olyan P pontot, melyre
.
Ez minden esetben megtehető, hiszen a szög AD szárától felvesszük a -et. A félegyenesünk metszi BD-t, ez a pont P.
Ha , akkor is teljesül. Az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből . Mindebből következik, hogy az APB és ADC háromszögek hasonlók, azaz ahonnan .
De az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből, így a BAC és az APD háromszögek szintén hasonlóak, hiszen szögeik egyenlők, így írhatjuk
ahonnan .
Adjuk most össze az (1) és (2) egyenlőségeket; azt kapjuk hogy
amit akartunk bizonyítani.
Tétel a húrnégyszög átlóinak szeleteiről Az ABCD húrnégyszög egyik átlójának két szeletének szorzata megegyezik a húrnégyszög másik átlójának két szeletének szorzatával.
,
ahol P a két átló metszéspontja. Merőleges vonalak thumb|Merőleges vonalak Ha húrnégyszög, és , , és a húrnégyszög egyes oldalaihoz tartozó körívek felezőpontjai, Ekkor az és összekötő egyenesei merőlegesek egymásra.
A bizonyítás a kerületi és középponti szögek tételén alapul. A és pontok közötti körív, illetve az és közötti ív is 180 fokot fog közre, mivel az ívek mindegyike magában foglalja a négyszög , , és oldalainak felét.
A középponti és kerületi szögek tétele szerint az és kerületi szögek feleakkorák, mint a hozzájuk tartozó középponti szög, azaz az és ívekhez tartozó középponti szög.
Emiatt , így mivel a belső összegeinek összege 180 fok, azért az és szakaszok merőlegesek egymásra.Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, , Seiten 120 und 121.
Beírt rombusz thumb|hochkant=1.3|Beírt rombusz Adva legyen egy húrnégyszög, és messe a két-két egymással szembeni oldalpár meghosszabbítása egymást a illetve a pontban.
Ekkor az négyszög oldalainak meghosszabbításával kapott, , illetve csúcsú szögek szögfelezői kimetszik a négyszög oldalaiból az pontokat. Ezek a pontok rombuszt alkotnak.
Bizonyítás: A húrnégyszög tulajdonságaiból következik, hogy az és szögek nagysága megegyezik. A és a háromszögek hasonlóak, mivel a fenti szögek ugyanakkorák, mint a szög. Ebből következik, hogy a és szögek mérete megegyezik. Mivel és csúcsszögek, azért ezek is ugyanakkorák. Így és hasonlósága miatt a és szögek mérete megegyezik. Ezek szerint egyenlő szárú háromszög, ennélfogva a szögfelező felezőmerőlegese. Mivel és ezen a felezőmerőlegesen fekszenek, azért ugyanolyan távol vannak -től és -tól.
Hasonlóan kikövetkeztethető, hogy és ugyanolyan távol van -től és -től. Ezzel bizonyítást nyert, hogy rombusz.Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, , Seiten 218 und 219George Zerr: Problem 90, American Mathematical Monthly, 1898, S. 143 Keletkezés szögfelezőkből thumb|hochkant=1.3|Közrezárt húrnégyszög Egy tetszőleges négyszög belső szögeinek felezői húrnégyszöget zárnak közre.
Bizonyítás: A csúcsszögek és a szögösszegek tulajdonságai miatt
és . ekkor az
összegből következik a húrnégyszögek szemben fekvő szögeire vonatkozó tulajdonság, innen pedig a megfigyelés.
Megjegyzés: Hasonló összefüggés látható be a külső szögfelezőkre is.Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie, 2. Auflage, Springer Spektrum 2016, , S. 23/220 Thébault-tétel húrnégyszögekre thumb|Thébault-tétel húrnégyszögekre A Thébault-tétel tetszőleges húrnégyszögre teljesül. Kössük össze a szemközti oldalpárokat úgy, hogy az egyik oldal középpontjából merőlegest bocsátunk a szemben fekvő oldalra. Az így kapott szakaszok egy ponton mennek keresztül, melyet -vel jelölünk. Ez éppen a körülírt kör középpontjának súlypontra vett tükörképe.Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Cambridge University Press, S. 35–39,
Ha az átlók merőlegesek egymásra, akkor Brahmagupta tétele szerint metszéspontjuk . Innen következik, hogy egy oldal középpontjának -től mért távolsága megegyezik az oldal felével. Ha az oldalak hossza , és a szemközti oldalpárok és , illetve és , valamint a köré írt kör sugara , akkor . További képletek A Pitagorasz-tétel szerint az ABM, BCM, CDM és DAM háromszögek területe: és hasonlóan,
Az ABCD húrnégyszög területe ezen háromszögek területének összege, így
Bevezetjük az , , , oldalakkal szembeni középponti szögeket, mint , , , . Ekkor a szinusz és a koszinusz definíciója alapján és , tehát .
A kétszeres szögekre vonatkozó képletek alapján és hasonlóan
A területre vonatkozó képlettelHarald Schröer, Universitätsbibliothek Heidelberg: Die 4. Seite und der Flächeninhalt des Sehnenvierecks
Egyenlőségek Egy húrnégyszög belső szögeire teljesülnek a következők:
Az átlók metszésszögére:
Az és oldalak meghosszabbításának metszésszögei:
ahol a képletekben a húrnégyszög félkerülete. Merőleges átlójú húrnégyszögek A merőleges átlójú húrnégyszögekre vonatkozó további tulajdonságok: Rajzoljunk olyan köröket, melyek átmérője megegyezik az átlók szeleteivel! Ekkor ezeknek a köröknek a területének összege egyenlő a négyszög köré írt kör területével. Ha a négyszög oldalaira, mint átmérőkre rajzolunk köröket, akkor ezek területének összege a négyszög köré írt kör területének kétszerese. Ha az átlók metszéspontjából merőlegest bocsátunk az egyik oldalra, akkor az felezi a szemben fekvő oldalt. Az oldalfelező pontokból a szemben fekvő oldalra bocsátott merőlegesek egy pontban, az átlók metszéspontjában metszik egymást. Az átlók metszéspontjából az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai bicentrikus négyszöget határoznak meg. A négyszög köré írt kört a csúcsaiban érintő érintők egy újabb húrnégyszöget határoznak meg.
Jegyzetek
Források
Sehnenviereck auf www.mathematische-basteleien.de Hans Walser: Sehnenviereck (PDF; 0,8 MB) Das Sehnen- & Tangentenviereck (PDF; 1,7 MB)
Fordítás
Kategória:Négyszögek