250px|bélyegkép|jobbra|Tórusz 250px|bélyegkép|jobbra|Rácsmodellel szemléltetett tórusz A tórusz egy forgástest, amely egy körlemezt egy vele komplanáris (jelentése: egy síkban lévő) tengely körül elforgatva generálható. Tórusz alakú például a hulahop karika és a kerékpár belső gumija.
Képletek Egyenletek A tórusz egy lehetséges parametrizálása:
ahol , és .
Jelölje a generáló kör sugarát, s jelölje a forgástengely és a kör középpontjának távolságát. Ekkor a tórusz pontjai az alábbi egyenlőtlenségnek tesznek eleget:
Ebből gyöktelenítéssel adódik ez az ekvivalens formula:
Térfogat és felszín A tórusz térfogata () és felszíne () kiszámítható a Papposz–Guldin-tétel segítségével:
.
Fontos megjegyezni, hogy a tórusz felszíne és térfogata megegyezik egy hengerével, melynek magassága , alapkörének sugara pedig . Ennek magyarázata az, hogy ha egy tóruszt elvágunk a generáló kör mentén, majd kinyújtjuk, akkor a belső oldal felület- és térfogat-veszteségeit kompenzálják a külső oldal nyereségei.
Topológia thumb|right|A tórusz, mint két kör szorzata A tórusz topológiai szempontból zárt felület, ami két körvonal szorzataként írható le: S1 × S1.
A síkból tórusz kapható a következő reláció szerinti azonosítással: (x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1).
Egy négyzet két-két szemben fekvő oldalpárjának azonosításával szintén tóruszt kapunk. Ezt nevezik lapos tórusznak.
A tórusz fundamentális csoportja a két kör fundamentális csoportjának direkt szorzata:
Ha a tóruszt egy rajta ejtett lyukon át kifordítják, akkor újra tóruszt kapnak, aminek a szélességi és hosszúsági vonalai megcserélődtek.
A tórusz első homológiacsoportja izomorf a tórusz fundamentális csoportjával. Ez következik a Hurewicz-tételből, mivel a fundamentális csoport Abel.
A tórusz szeletelése Egy tórusz n síkkal legfeljebb részre darabolható. Ez az egész számok egy különleges sorozata. A sorozat első tagjai: 1, 2, 6, 13, ha n 0-tól kezdődik.
Színezés Egy tóruszon levő térképet mindig ki lehet színezni legfeljebb hét színnel úgy, hogy a szomszéd területek színe különböző. Lásd még: négyszín-tétel a síkon.
480px|thumb|center|Az ábra hét, egymást kölcsönösen érintő területet mutat
Általánosítás A tórusz általánosítható magasabb dimenziókra is. Ezek az n dimenziós tóruszok, röviden n-tóruszok. Az eddigi tórusz a 2-tórusz.
Az n dimenziós tórusz előáll n kör topologikus szorzataként:
Az 1-tórusz a kör; a 2-tórusz ismert. A 3-tóruszt nehéz szemléltetni.
Az általánosított tóruszt ugyanúgy le lehet írni Rn hányadostereként, mint a 2-tóruszt. Ez Rn hányadoscsoportja a Zn rács hatása szerint, ahol Zn eltolással (összeadással) hat. Az n-tórusz megkapható úgy is, hogy azonosítjuk egy hiperkocka egymással szemben fekvő lapjait.
Az n-tórusz fundamentális csoportja n rangú szabad Abel-csoport, k-adik homológiacsoportja rangú szabad Abel-csoport. Ennek következménye, hogy az n-tórusz Euler-karakterisztikája minden n-re 0.
Jegyzetek
Források Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. . V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. , . Tórusz előállítása a cut-the-knotnál
"4D tórusz" utazás egy négydimenziós tórusz keresztmetszetein át "Relációs áttekintő térkép" Magas dimenziós adatok szemléltetése lapos tóruszokkal "Torus Games" Játékok, amik megvilágítják a tórusz topológiáját
További információk
Jeffrey R. Weeks: A tér alakja (Typotex, 2009) Szűcs András: Topológia
Kategória:Mértani testek