A konfidenciaintervallum a valószínűségi intervallum, az Leíró statisztika eszköze: ha mintából becsülünk, sosem tudjuk a pontos értéket, a teljes sokaság felmérése pedig erőforrás igényes. A konfidenciaintervallum adott szignifikanciaszinten: a becsült változó alsó és felső korlátja.
A konfidenciaintervallum becslést ad egy értéktartományban a paraméterre: valószínűleg ezek közé a korlátok közé esik. Ez sok esetben jobb, mint egyetlen becsült értéket adni. Az α paraméter egy előzetesen megadott értékére a becsült paraméter 1-α valószínűséggel esik az intervallumba. Ezt az 1-α szintet sokszor százalékban adják meg; például 95% tipikus.
Ahhoz, hogy megbízhatósági intervallumot számoljunk, különböző feltevésekkel kell élnünk, például a becslés hibáinak eloszlása normális. Ezzel a feltevéssel a megbízhatósági intervallum a következőképpen számítható:
Int(t)=t+/-(z*sh), ahol t vagy a sokasági paraméter, z a megadott szint (α) a normális eloszlás 1-α-d rendű kvantilise, sh pedig a standard hiba, ami általában a szórás osztva a minta elemszámának négyzetgyökével.
Alkalmazások Az intervallumbecslés szembeállítható a pontbecslésekkel. A pontbecslés egyetlen értékkel ruházza fel az adott paramétert: "valószínűleg" közel van ehhez az értékhez. Ilyen paraméter például a várható érték vagy a szórás. Az intervallumbecslés ehelyett egy tartományt ad meg, amiben valószínűleg benne van az adott paraméter. Rendszerint együtt tabellázzák vagy ábrázolják a kétféle becslést ahhoz, hogy megmutassák, mennyire pontosak ezek a becslések.
A konfidenciaintervallumot arra is használják, hogy megmutassák, hogy mik lehetnek megbízható becslések. Például egy felmérésben a megkérdezett személyek 40%-a mondja azt, hogy biztos pártválasztó. A 90%-os konfidenciaintervallum figyelembe vételével a teljes népességben a biztos pártválasztók aránya 36% és 44% közötti. Az ugyanezekből az adatokból kiszámított 95%-os megbízhatósági intervallummal számolva a teljes népességben a biztos pártválasztók aránya 38% és 42% közötti. Adott megbízhatósági szinten a kisebb konfidenciaintervallum pontosabb becslést jelez. Ez több tényezőtől is függ, így például a minta méretétől.
A konfidenciaintervallum általánosítása a több dimenziós megbízhatósági tartomány. Ezek nemcsak a becslés hibájának felmérésére alkalmasak, hanem arra is, hogy kimutassák: ha egy paramétert nem sikerült elég pontosan megbecsülni, akkor a többi paramétert is pontatlanul becsültük-e meg.
Az alkalmazásokban legtöbbször 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallumokat használnak,Zar, J.H. (1984) Biostatistical Analysis. Prentice Hall International, New Jersey. pp 43-45 de előfordul, hogy több különböző megbízhatósági szintű konfidenciaintervallumot ábrázolnak együtt, például 50%-os, 95%-os és 99%-os szinten.
A konfidenciaintervallum közel áll a szignifikanciateszthez. Ha a paraméter pontbecslése X, és az [a,b] intervallum P szintű konfidenciaintervallum, akkor az intervallumon kívüli elemek szignifikánsan különböznek X-től az 1-P szinten ugyanazon feltevések mellett, mint amikkel a konfidenciaintervallumot előállítottuk. Eszerint mondhatjuk, hogy elvetjük a nullhipotézist, ha a paraméter értékére kapott becslés a-nál kisebb, vagy nagyobb b-nél. A döntés szintje P.
Két paraméter esetén, ha a konfidenciaintervallumok diszjunktak, akkor mondhatjuk, hogy a két paraméter értéke szignifikánsan különbözik az adott szignifikanciaszinten. Ez azonban nem egészen biztos, mert a két középérték különbsége a különbségek mintájától függ, és a konfidenciaintervallumokat is a mintából számoltuk.Goldstein, H., & Healey, M.J.R. (1995). "The graphical presentation of a collection of means." Journal of the Royal Statistical Society, 158, 175-77.
Statisztikai elmélet Definíció A megbízhatósági intervallumot egy adott adathalmaz alapján konstruáljuk: jelölje x a mintahalmazon mért eredményt. Legyen X az a mennyiség, ami az alapsokaságból vett mintákból adódhat. X-et valószínűségi változóként kezeljük, aminek mért értéke x. A megbízhatósági intervallum határait az u, v függvénypáros határozza meg; az adott x eredményre (u(x), v(x)) adja a megbízhatósági intervallumot.
Tegyük fel, hogy a konfidenciaintervallumot a w mennyiség becslésére használjuk. Az u és a v függvények tulajdonságai kapcsolódnak az (u(X),v(X)) valószínűségi intervallumok halmazának tulajdonságaihoz, tehát a végpontok valószínűségi változókként kezelhetők. Ez a tulajdonság a fedési valószínűség, vagyis annak a valószínűsége, hogy a véletlen intervallum tartalmazza w-t:
Itt az U = u(X) és a V = v(X) végpontok statisztikák (megfigyelhető valószínűségi változók), amik az adathalmazból származtathatók. A véletlen intervallum (U, V).
Tegyük fel, hogy az eloszlást a és a paraméterek jellemzik. Ezek közül -t becsüljük, -t elhanyagoljuk. Lehet, hogy több paraméterről van szó; ekkor és is több dimenziós lehet.
Egy adott 0 és 1 közötti α számra konfidenciaintervalluma (u(X),v(X)), ahol
és u(X), v(X) statisztika, azaz nem szükséges hozzá ismerni a és a paramétereket.
Az 1 − α szám a megbízhatóság szintje, amit gyakran százalékban adnak meg, és az α szám kicsi. A legtöbb könyv is ezt a konvenciót alkalmazza. Itt jelöli ezt a valószínűséget, ha az X változó eloszlását a paraméterek jellemzik. Az (U, V) véletlen intervallum nagy valószínűséggel fedi -t annak valódi értékétől függetlenül.
Approximáció A nem standard alkalmazásokban nem mindig lehetséges konfidenciaintervallumot alkotni, aminek megvannak a szokásos tulajdonságai. Ehelyett más, használhatóbb tartományt keresnek. Egy véletlen intervallum fedési valószínűsége
és a közelítés elfogadható, ha
minden -re
Összevetés a Bayes-intervallumbecsléssel Az eddigi jelölésekkel a θ paraméter Bayes-intervallumbecslése egy adott α-ra:,
Ahol θ-t valószínűségi változónak tekintjük.
A kétféle intervallum definíciója a következőképpen hasonlítható össze: A konfidenciaintervallumot az adott paraméterek egy adott X eloszlásából kiszámított valószínűségek felhasználásával állítják elő A Bayes-intervallumbecslést Θ feltételes eloszlásából számolják, ahol a feltétel X=x.
Jegyezzük még meg, hogy a két módszer másként kezeli a paramétert. Egyszerű esetekben mindkét módszerrel ugyanazon az adathalmazon többnyire ugyanazt az intervallumot kapjuk. Ha azonban előzetes ismereteket (az a priori eloszlásról) is felhasználunk a Bayes-intervallumbecslésben, akkor már nagyban különbözhetnek egymástól.
Tulajdonságok Az alkalmazásokban megkívánják az érvényességet, az optimalitást és az invarianciát. Ezek közül az érvényesség és az optimalitás a fontosabb; az invariancia inkább a származtatás módját jellemzi.
Érvényesség: a fedési valószínűség valóban az legyen, mint ami névlegesen, akár csak közelítőleg is Optimalitás: a konstrukció annyi információt használjon fel az adathalmazból, amennyit csak lehet. Ennek egy egyszerű módja, hogy az adathalmazból kapható adott szintű legrövidebb megbízhatósági intervallumot választjuk. Invariancia: sok alkalmazás megköveteli, hogy az átskálázással kapott adatok alapján ekvivalens becslést adjunk. Például a jövedelmek mediánja megfeleltethető legyen a jövedelmek logaritmusának mediánjának.
Származtatás A megbízhatósági intervallum többféleképpen is származtatható. Ezek a módszerek rendszerint szoros kapcsolatban állnak a pontbecslésekkel. Statisztika
A klasszikus momentummódszerhez kapcsolódik, ami a tapasztalati momentumokból becsli a paramétereket. A klasszikus momentummódszerrel kapott középértéket és szórást használja fel. A konfidenciaintervallum közepe ez a középérték, és ettől a végpontok távolsága az így kapott szórás konstansszorosa. Likelihoodelmélet
A likelihoodfüggvény maximalizálásával ad becslést a paraméterekre. Szignifikanciateszt
A konfidenciaintervallum a nullhipotézis elfogadási tartománya a próba szintjén. Ez az a tartomány, ahol nem vetik el a nullhipotézist. A próba szintje 1-α, ahol α annak a valószínűsége, hogy elvetik a nullhipotézist, pedig igaz.
Kapcsolat a hipotézisvizsgálattal Bár nem minden megbízhatósági intervallumot definiálnak hipotézisvizsgálat segítségével, a konfidenciaintervallum és a hipotézisvizsgálat bizonyos értelemben kiegészíti egymást. Egy általános megközelítés szerint a 100(1−α)%-os szintű konfidenciaintervallum az a tartomány, ahol nem vetik el a nullhipotézist 100α%-os szinten. Ezért a hipotézisvizsgálattal kapcsolatos feltevések a megbízhatósági intervallumra is átvihetők. Ez a megközelítés azonban feltételezi, hogy rendelkezésre áll egy teszt.
Kényelmes lehet úgy tekinteni, hogy a konfidenciaintervallum a hipotézisvizsgálat elfogadási tartománya, de ezzel vigyázni kell, mert másként is lehet megbízhatósági intervallumot definiálni. Ekkor ez csak közelítőleg érvényes, és az ebből levont következtetések megbízhatósága nem egyértelmű.
Jelentés és értelmezés A megbízhatósági intervallum többféleképpen is értelmezhető. Ez az adott esetben alkalmazott módszertől is függ. Kifejezés a minták felhasználásával: „Ha ezt a vizsgálatot többszöri mintavétellel is elvégezzük, akkor a számított konfidenciaintervallum az esetek 90%-ában tartalmazni fogja a paraméter pontos értékét.”Cox DR, Hinkley DV. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall, p49, 209 Ehhez nem szükséges, hogy az egyes minták ugyanabból az alapsokaságból kerüljenek ki.Kendall, M.G. and Stuart, D.G. (1973) The Advanced Theory of Statistics. Vol 2: Inference and Relationship, Griffin, London. Section 20.4 A megbízhatósági intervallum és a szignifikanciateszt összekapcsolása: „A konfidenciaintervallum azokat a paraméterértékeket tartalmazza, amikre a becsült érték eltérése nem szignifikáns 10%-os szinten.”"Cox DR, Hinkley DV. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall, p214, 225, 233 Ez az intervallum konstrukciójára is utal. A megbízhatósági intervallummal kapcsolatba hozott valószínűség egyfajta kísérlet előtti nézőpontnak tekinthető. Így a kísérletezőnek tudomása van arról, hogy a kísérlet eredménye 90%-os valószínűséggel a konfidenciaintervallumba fog esni. Ez az ismételt mintavételre való hivatkozáshoz hasonlít, de megkerüli azt a problémát, hogy akkor hivatkozzon az ismételt mintavételre, amikor az lehetetlen. Egy 90%-os megbízhatósági tartomány azt mutatja meg, hogy százszor megismételt mintavétel esetén 90 esetben a populációs paraméter (a becsülni kívánt tulajdonság értéke) a becsült intervallumon belül lesz. (frekventista megfogalmazás)
Ezekben az értelmezésekben közös, hogy ha a paraméter értéke kívül esik a megbízhatósági intervallumon, akkor egy olyan esemény következik be, aminek 10% az esélye.
Alternatívák és kritikák Az intervallumbecslések egyik módszere a konfidenciaintervallum használata. A bayesi statisztikában is vannak hasonló módszerek. A nem bayesi, frekventista statisztikában egy másik módszerrel adnak előrejelzést a leendő mintára.
A matematikusok nem értenek egyet abban, hogy melyik módszer alkalmasabb. Nem értenek egyet a különböző módszerek hasznosságában, alkalmazásában és értelmezésében.
A bayesi módszerek alkalmazásával kapott intervallumbecslést használók mondhatják: „90%-os biztossággal hiszek abban, hogy a paraméter ebbe az intervallumba esik.”Cox DR, Hinkley DV. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall, p390 Az előrejelző intervallumok használói: „Előrejelzem, hogy a következő minta 90%-os valószínűséggel ebbe az intervallumba esik.”
A konfidenciaintervallum konstrukciójában az az alapfeltevés, hogy csak egy tesztről van szó. Ha egy tanulmány több tesztet foglal magába, akkor ez a feltevés nem igaz: a konfidenciaintervallum a szintjénél kisebb valószínűséggel foglalja magában a paraméter értékét. Például, ha 20 statisztikai teszt mutat pozitív eredményt, akkor a 95% szintű konfidenciaintervallum csak körülbelül 35%-os valószínűséggel tartalmazza a paraméter értékét.
Alkalmazás más eloszlásokra