A ortogonális mátrix (jele általában Q) csakis valós számokkal kitöltött unitér mátrix.
Egy másik, vele egyenrangú definíció szerint egy valós négyzetes mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha oszlopvektorai ortonormált rendszert alkotnak.Wettl Ferenc szerint az elnevezés nagyon szerencsétlen, jobb lenne az „ortonormált mátrix” elnevezés, de az „ortogonális mátrix” megnevezés már kiirthatatlanul elterjedt. Lásd: Wettl Ferenc: Lineáris algebra (Műegyetem, 2011) 326. o.
Ha nem kötjük ki, hogy a mátrix négyzetes legyen, akkor szemiortogonális mátrixról beszélünk.
Tulajdonságai Ha egy mátrix ortogonális és felcseréljük az oszlopvektorok sorrendjét, akkor az így kapott új mátrix is ortogonális lesz. Ezekre a mátrixokra igaz, hogy transzponáltjaTranszponált konjugáltja, ahol a valós számok komplex konjugáltjai önmaguk. egyben inverze is:
Ezért az egyenlet megoldása egyszerűen .
Az ortogonális mátrix determinánsa +1 vagy −1.
Az ortogonális mátrix különleges esete a speciális ortogonális mátrix, ha determinánsa +1:
Az ortogonális mátrixszal való szorzás megőrzi a vektorok skaláris szorzatát, azaz . Ebből következik, hogy megőrzi a vektorok egymásra való merőlegességét, azaz merőleges vektorok képe is merőleges. A tér azon transzformációi, melyek megőrzik a skaláris szorzatot, pontosan az egybevágósági transzformációk. Gyakorlati alkalmazásuk során tehát előnyük, hogy a velük való szorzás megőrzi a hosszat (), a szögeket és a térfogatot. Az n×n-es ortogonális mátrixokhoz tartozó leképezések invertálható lineáris transzformációk, csoportot alkotnak, egy részcsoportot az általános lineáris csoporton, a -n belül, sőt kompakt Lie-csoportot, melynek dimenziója . A csoport neve ortogonális csoport, jele .
Példák A következőkben néhány ortogonális mátrix látható a nekik megfelelő lineáris leképezés nevével.
(identitás)
(forgatás szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban)
(forgatás 16,26°-kal)
(tükrözés az x-tengelyre)
Minden permutáló mátrix ortogonális. Például 4×4-es esetben: (tengelyek permutálása)
Jegyzetek
Források Wettl Ferenc: Ortogonalizáció – BME, 2016 Simon Károly: Matematika MSc Építőmérnököknek (2011)
Kategória:Mátrixok