bélyegkép|200px|Körevolvens Egy görbe evolvense egy sima görbe, melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Az evolvens olyan ruletta, amelynél a legördülő elem egyenes, melynek egy adott pontja generálja az evolvenst.
Analitikailag: ha a függvény a görbe természetes parametrikus alakja (vagyis minden s-re), akkor
az evolvens parametrikus alakja:
Egy parametrikus egyenleteivel definiált görbe evolvensének egyenletei:
Példák Körevolvens jobbra|200px 200px|bélyegkép|Körevolvens A – alappont, a – alapkör, e – evolvens, i = ρ – ív, t – érintő, v – vezérsugár, ρ – görbületi sugár – lefejtő sugár
A kör evolvense egy spirális görbe. Derékszögű koordináta-rendszerben a görbe egyenletrendszere:
Ahol t a szög és a a kör sugara.
A körevolvens ívhossza:
A görbületi kör sugara:
Az APO szektor területe:
Az x tengelyt a görbe az abszcisszánál metszi, ahol a egyenlet gyöke.Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
A körevolvensnek nagy jelentősége van a fogaskerekes hajtóműveknél: a jelenleg gyártott fogaskerekek túlnyomó részénél evolvens fogazatot használnak. A fogaskerék geometriai számításainál az alábbi egyenleteket használják:
ahol az egyes jelölések az ábra szerintiek. Itt r<sub>a</sub> az alapkör sugara, α a lefejtőszög, inv α pedig az evolvensszög.Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 3. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
Láncgörbe evolvense A láncgörbe csúcspontjából kiinduló evolvense egy traktrix. Derékszögű koordinátákkal kifejezve a görbe egyenlete:
ahol t a szög, sech pedig a szekánshiperbolikus (1/cosh(x)) függvény.
Deriváltja:
Mivel írhatjuk, hogy és
behelyettesítve kifejezést:
Ciklois evolvense A ciklois egyik evolvense egy kongruens ciklois. Derékszögű koordinátákat alkalmazva a görbe egyenletrendszere:
ahol t a szög és a sugár.
Evolúta Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helyét a görbe evolútájának nevezik. Ez egyben a görbe normálisainak burkológörbéje is. Ha a görbe a görbének evolútája, akkor a görbének evolvense. Adott evolútához végtelen sok görbéből álló evolvenssereg tartozik, ezek a lefejtő fonál eredeti hosszában különböznek egymástól.J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. Adott alapkörhöz tartozó körevolvensek egybevágóak.
Kapcsolódó szócikkek Fogaskerék
Külső hivatkozások
Mathworld
Források
Kategória:Görbék