Az eseményalgebra a valószínűségszámításban egy halmazalgebra, ami egy eseménytér felett értelmezett eseményeket elemekként tartalmazza. Legfeljebb megszámlálható végtelen eseménytér felett minden halmaz eseménynek tekinthető, de egyébként nem, ahogy azt a Vitali-tétel is megmutatja. Ez azt a negatív eredményt mondja ki, hogy nem megszámlálható térben nem lehet minden halmaz mérhető, így nem lehet minden halmazhoz valószínűséget rendelni. Definíció Adva legyen egy eseménytér, ami magában foglalja a vizsgált véletlen kísérletek lehetséges kimeneteleit. Ekkor az alaphalmazon σ-algebra eseményalgebra, amit neveznek eseményrendszernek is. Néha az párost nevezik eseménytérnek,Georgii: Stochastik. 2009, S. 10. melynek megfelelője a mértékelméletben a mérhető tér. Hierarchia A kimenetelek az eseménytér és az események elemei. Az események az eseménytér részhalmazai és az eseményalgebrák elemei. Elemeik a kimenetelek. Az eseményalgebrák a hatványhalmaz részhalmazai.
Különbséget kell tenni az kimenetel és az esemény között, habár ezt gyakran elhanyagolják.
Példa Tekintsük az eseményteret, ennek elemei . Egy lehetséges eseményalgebra . Ez a példa azt is mutatja, hogy nem kell az eseménytér minden elemének eseménynek lennie. A σ-algebra szükségessége A véletlen kísérletek modellezésére σ-algebrára van szükség a következők miatt: A biztos eseménynek (valami történik) eseménynek kell lennie, és ehhez az 1 valószínűséget rendelni. Ha egy halmaz esemény, akkor nem bekövetkezésének is eseménynek kell lennie, mivel hozzárendelhető , mint valószínűség. Így egy esemény komplementere is esemény. Ha az eseményekből legfeljebb megszámlálható végtelen van, akkor annak is eseménynek kell lennie, hogy legalább egyikük bekövetkezik. Így az eseményalgebrának zártnak kell lennie a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen unióra is.
Kanonikus eseményalgebrák Véges és megszámlálható végtelen eseménytér esetén választható a teljes σ-algebra, mivel ez még nem vezet ellentmondásra. Eszerint minden részhalmaz esemény. Például, ha az alaphalmaz , akkor az eseményalgebra .
Valós eseményhalmazokon, amelyek a valós számokat tartalmazzák, vagy annak nem megszámlálható részét, például intervallumot, vagy félegyenest, akkor az adott halmaz Borel-algebráját tekintik, ami ugyan sokkal kisebb, mint a teljes hatványhalmaz, de tartalmaz minden naiv módon konstruálható halmazt (de Vitali-halmazokat nem). Tetszőleges topologikus téren konstruálható Borel-algebra.
Ha az eseménytér több eseménytér szorzata, akkor a szorzat-σ-algebra lesz az eseményalgebra.
Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás