bélyegkép|400px|jobbra|Néhány sokszög A geometriában sokszögnek (idegen szóval: poligonnak) nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe (azaz zárt töröttvonal) határol.
Ezeket a szakaszokat oldalaknak nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az élek találkoznak, csúcsoknak. Az oldalak összessége a sokszög határa, ha hangsúlyozni kívánjuk a belső pontok sokszöghöz tartozását, akkor sokszöglemezről is beszélhetünk.
A sokszögek a politópok – melyeknek tetszőleges számú dimenziója lehet – halmaza kétdimenziós részhalmazának tekinthetőek.
A számítógépes képalkotásban (grafika) a sokszög szót a geometriától kissé eltérő értelemben használják. Itt inkább arra utalnak a fogalommal, ahogy az alakzatot a számítógépen belül tárolják és változtatják.
Osztályozás Oldalszám A sokszögeket leggyakrabban oldalszámuk szerint csoportosítják (lásd elnevezések).
Konvexitás
Konvex: bármely egyenes, mely a sokszögön áthalad (és nem érinti egy élben vagy csúcsban), pontosan kétszer metszi azt. A konvex sokszög olyan sokszög, amelynek egyetlen belső szöge sem nagyobb 180°-nál. Nem-konvex (konkáv): van olyan egyenes, amely több mint kétszer metszi. A konkáv sokszögnek van olyan belső szöge, ami nagyobb 180°-nál. Csillagsokszög: olyan sokszög, amely bizonyos szabályok szerint metszi önmagát. Csillag alakú sokszög: olyan sokszög, melynek teljes belső területe belátható egyetlen pontból.
Szimmetria Egyenlő szögű: minden csúcsszög azonos nagyságú. Ciklikus: minden csúcs egyetlen körre illeszthető. Izogonális vagy csúcstranzitív: minden csúcs egyazon szimmetriaorbitálon (pálya) belül helyezkedik el. Ezek a sokszögek ciklusosak és egyenlő szögűek is. Egyenlő oldalú: minden oldal egyenlő hosszúságú. 5 vagy ennél több oldalú sokszög anélkül is lehet egyenlő oldalú, hogy konvex lenne (Williams 1979, pp. 31-32) Izotoxális vagy éltranzitív sokszög: minden él ugyanazon szimmetriaorbitálon (pálya) belül helyezkedik el. Ezek a sokszögek egyenlő oldalúak is. Szabályos sokszög. A sokszög akkor szabályos, ha ciklikus és egyenlő oldalú. A nem-konvex szabályos sokszögeket csillagsokszögnek nevezzük.
Egyéb Derékszögű: olyan sokszög, melynek az oldalai derékszögben találkoznak; azaz az összes belső szöge 90 vagy 270 fokos. Monoton: ha adott egyenes esetén minden erre merőleges egyenes legfeljebb kétszer metszi a sokszöget.
Tulajdonságok Az alábbiakban végig euklideszi geometriában gondolkodunk.
Szögek Minden sokszögben, legyen az szabályos vagy szabálytalan, komplex vagy egyszerű, a szögek és az élek száma megegyezik. Egy csúcshoz számos szög tartozik. Ezek közül a két legfontosabb: belső szög – Egyszerű n oldalú sokszög belső szögeinek összege (n‒2)π radián vagy (n‒2)180 fok. Ez azzal magyarázható, hogy minden egyszerű n oldalú sokszöget tekinthetünk (n‒2) háromszög összegének, melyek mindegyikében a szögek összege π radián vagy 180 fok. külső szög – Ha egy földre rajzolt egyszerű n oldalú sokszöget körbejárunk, a csúcsoknál megtett fordulatok nagysága egyenlő a külső szöggel. Ha egy sokszöget teljesen körbejárunk, teljes fordulatot tettünk, tehát a külső szögek összege 360°. A külső szög a belső szög kiegészítő szöge, ezért a belső szög könnyen kiszámolható belőle.
Ez az eszmefuttatás akkor is igaz, ha egyes belső szögek nagyobbak 180°-nál: ha óramutató szerint járjuk körbe, ez azt jelenti, hogy ilyen esetekben jobb helyett balra kell fordulnunk, amely negatív fordulat.
Az n oldalú szabályos sokszög bármely belső szögének nagysága: (n‒2)π/n radián vagy (n‒2)180/n fok. A szabályos csillagsokszögek belső szögeit elsőként Poinsot tanulmányozta egy dolgozatában, melyben a négy Kepler–Poinsot-poliédert írja le.
Ha egy n oldalú sokszöget körbejárunk, a külső szögek összege (vagyis a csúcsoknál megtett fordulatok összege) 360° bármely egész számú többszöröse lehet (ötszög esetén 720°).
Átlók A sokszög egy átlója a sokszög két nem szomszédos csúcsát összekötő szakasz.
Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma:
Magyarázat: Minden csúcsból n–3 átló húzható (az adott csúcsból önmagába és a két szomszéd csúcsba nem vezet átló), mivel ezeket összeadva minden átlót pontosan kétszer számoltunk, ezért osztunk kettővel.
Terület A sokszög területe az a síkrégió (kétdimenziós), amelyet a sokszög körülzár.
Egyszerű sokszögek Az egyszerű sokszög A területét kiszámíthatjuk, ha ismerjük a csúcsok Descartes-koordinátáit (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), olyan sorrendben, ahogy a területét óramutatóval ellentétes irányban körbejárnánk.
A képlet a következő:
Ezt a képletet Meister írta le először 1769-ben, majd Carl Friedrich Gauss 1795-ben. Bizonyítható úgy, hogy a sokszöget háromszögekre bontjuk, de tekinthetjük a Green-tétel speciális esetének is.
Ha a sokszög felrajzolható egy azonos térközű rácsra úgy, hogy minden csúcsa egy rácspontra esik, akkor a Pick-tétel alapján felírható egy egyszerű képlet a sokszög területére, a belső és határ-rácspontok száma alapján.
Ha adott bármely két egyszerű sokszög, melyek területe megegyezik, akkor az első felosztható olyan kisebb sokszögekre, melyekből kirakható a második sokszög. Ez a Bolyai-Gerwien-tétel.
Az n oldalú s oldalhosszúságú szabályos sokszög területe az alábbi képlettel számolható:
A szabályos sokszög oldalhossza (s) kifejezhető a köréírt kör sugarából (R) és a beírt kör sugarából (r) is:
így a terület felírható ezek függvényeként is a következőképpen:
Önmagukat metsző sokszögek Az önmagát metsző sokszög területét kétféleképpen is definiálhatjuk, melyek alapján más-más értéket kapunk.
Ha az egyszerű sokszögek fent leírt módszerét alkalmazzuk, akkor észrevehetjük, hogy a sokszög bizonyos területei egy értékkel szorzódnak, melyet a terület sűrűségének nevezünk. Például a pentagramma (ötágú csillag) közepén elhelyezkedő konvex ötszög sűrűsége = 2. A keresztezett négyszög (nyolcasszerű (8) alakzat) két háromszög alakú területének ellentétes előjelű sűrűségfaktora van, ezért területük összege zérus. Ha a körülzárt területeket ponthalmaznak tekintjük, akkor meghatározhatjuk a ponthalmaz területét. Ez megfelel annak a sík területnek, melyet a sokszög lefed, vagy azon egyszerű sokszög területének, amelynek a körvonala megegyezik az önmagát metszőével (vagy a keresztezett négyszög esetén a két egyszerű háromszöggel).
Szabadságfokok Egy n oldalú sokszögnek 2n szabadságfoka van, melyből 2 a pozíció, 1 a forgatási irány, 1 a teljes méret, 2n–4 pedig az alak szabadsága. Lineáris szimmetria esetén az utóbbi n–2-re csökken.
Legyen k≥2. Egy nk oldalú k-szoros forgási szimmetriájú (Ck) sokszög esetén 2n –2 szabadságfok van az alak tekintetében. Ha ehhez még tükörszimmetria is járul, (Dk) akkor n –1 a szabadságfokok száma.
Szerkeszthető sokszögek
Szerkeszthető sokszögnek nevezzük azt a szabályos sokszöget, amely szerkeszthető körző és egyélű vonalzó használatával. Például a szabályos ötszög szerkeszthető, míg a szabályos hétszög nem.
Általánosítás Kombinatorikus értelemben a sokszög tekinthető szakaszok és szögek ciklikus (tehát önmagába visszatérő) váltakozó sorozatának. A modern matematikai felfogás ezt a strukturális sorozatot egy olyan elvont (absztrakt) sokszöggel írja le, amely az elemek részlegesen rendezett halmaza (partially-ordered set – poset). A sokszög belseje (teste) egy másik elem, és (technikai okokból) a null politóp vagy nullitóp is.
Általában minden geometriai sokszög ennek az elvont sokszögnek a „megvalósulása”. Itt szóba jön néhány elem elvontból a geometrikusba való „leképezése” is.
Egy ilyen sokszögnek nem feltétlenül kell egy síkra esni, egyenes oldalainak lenni, területet körbezárni, és az egyes elemek átfedhetik egymást vagy egybeeshetnek.
Például egy szférikus (gömbszerű) sokszög egy gömb felszínére rajzolható, és oldalai nagy körök ívei. Egy másik példa: a legtöbb sokszög azért határtalan, mert önmagukban végződnek, de az apeirogonok (végtelen sokszögek) azért határtalanok, mert a végtelenségig folytatódnak, és sosem lehet elérni a határoló végpontjukat.
Tehát ha sokszögről beszélünk, ügyelnünk kell arra, hogy először tisztázzunk, milyen típusról beszélünk.
A kétszög olyan zárt sokszög, amelynek két oldala és két csúcsa van. Egy gömbfelszínen megjelölhetünk két ellentétesen elhelyezkedő pontot (az Északi- és Déli-sarkhoz hasonlóan), és összeköthetjük őket egy félkörrel. Ha egy másik félkörrel is összekötjük őket, kétszöget kapunk.
Ha a gömbfelszínt kétszögekkel töltjük (csempézzük) ki, akkor egy poliédert kapunk, melyet hozoédernek nevezünk. Ha ellenben csak egy kört vizsgálunk, amely teljesen körbeéri a gömböt és csak egyetlen „csúcsa” van, egyszöget kapunk (monogon/henagon).
A sokszögek más felületeken másképpen is megvalósulhatnak – euklideszi (lapos) síkon azonban a testüket nem tudjuk értelmesen leképezni, ezért degeneráltnak tekintjük őket.
Az ideális sokszöget többféleképpen általánosíthatjuk. Az alábbi rövid listában néhány degenerált esetet sorolunk fel (vagy speciális eseteket – nézőpontunktól függően):
Kétszög: euklideszi síkon szögei 0°-osak. 180°-os szög: síkban apeirogont, gömbfelületen diédert kapunk. Az aszimmetrikus (egyoldalas/elferdült) sokszög (skew polygon) nem illeszkedik egy síkra, hanem 3 vagy több dimenzióban foglal helyet cikcakkhoz hasonlóan. Ennek klasszikus példái a szabályos poliéderek Petrie-sokszögei. A szférikus sokszög (gömbsokszög) esetén az élek (körívek), és a csúcsok egy gömbfelületen helyezkednek el. Az apeirogon élek és szögek olyan végtelen sorozata, amely ugyan nem zárt, mégsincs vége, mivel a végtelenbe nyúlik. A komplex politóp vagy komplex sokszög a rendes sokszöggel analóg alakzat, de kilép a prehilberti síkból/térből.
A sokszögek elnevezése
A sokszögek angol elnevezése (polygon) a latin polygōnum főnévből származik, amely az ógörög polygōnon/polugōnon πολύγωνον főnévből származik, amely viszont a polygōnos/polugōnos πολύγωνος (hn melléknévből), melynek jelentése „sokszögletű”.
Az egyes sokszögeket az oldalaik száma alapján nevezzük el, ahol a görög eredetű szám-előtaghoz kapcsoljuk a -gon suffixumot. Például pentagon, dodekagon. Nagy számoknál a matematikusok néha magát a számot írják ki, például 17-szög (17-gon). A számot lehet változóval is helyettesíteni: n-szög (n-gon) vagy n oldalú sokszög.
Ez akkor hasznos, ha az oldalak számát képletbe foglaljuk. Néhány különleges sokszögnek saját neve is van, például a szabályos csillag-ötszög más néven pentagramma.
+ A sokszögek elnevezése magyar név angol név élekegyszög henagon (monogon) 1kétszög digon 2háromszög triangle (trigon) 3négyszög quadrilateral (tetragon) 4ötszög pentagon 5hatszög hexagon 6hétszög heptagon ("septagon" = Latin sept- + ógörög) 7nyolcszög octagon 8kilencszög enneagon (nonagon) 9tízszög decagon 10tizenegyszög hendecagon ("undecagon" = Latin un- + ógörög) 11tizenkétszög dodecagon ("duodecagon" = Latin duo- + ógörög) 12tizenháromszög tridecagon (triskaidecagon) 13tizennégyszög tetradecagon (tetrakaidecagon) 14tizenötszög pentadecagon (quindecagon vagy pentakaidecagon) 15tizenhatszög hexadecagon (hexakaidecagon) 16tizenhétszög heptadecagon (heptakaidecagon) 17tizennyolcszög octadecagon (octakaidecagon) 18tizenkilencszög enneadecagon (enneakaidecagon vagy nonadecagon) 19húszszög icosagon 20huszonegyszög icosihenagon (icosikaihenagon) 21huszonkétszög icosidigon (icosikaidigon) 22huszonháromszög icositrigon (icosikaitrigon) 23huszonnégyszög icositetragon (icosikaitetragon) 24huszonötszög icosipentagon (icosikaipentagon) 25harmincszög triacontagon 30harminchétszög triacontaheptagon (triacontakaiheptagon) 37negyvenszög tetracontagon 40ötvenszög pentacontagon 50hatvanszög hexacontagon 60hatvankilencszög hexacontaenneagon (hexacontakaienneagon) 69hetvenszög heptacontagon 70nyolcvanszög octacontagon 80kilencvenszög enneacontagon 90százszög hectogon 100ezerszög chiliagon 1000tízezerszög myriagon százezerszög decakismyriagon milliószög megagon milliárdszög nincs googol-szög googolgon 10100