Egy Ω halmaz feletti A⊆P(Ω) halmazcsaládHalmazcsaládok helyett tekinthetünk I indexhalmazú A∈IP(Ω) halmazrendszereket is által generált σ-algebra az a (⊆ részhalmaz-relációra nézve) legszűkebb, Ω feletti σ-algebra, amely tartalmazza A minden tagját elemként. E fogalom igen jelentős a σ-algebrák elméletében, s ezáltal a valószínűségszámításban és mértékelméletben.
Formális definíció
Egy Ω halmaz feletti G halmazcsalád által generált Ω feletti σ(G) σ-algebrának tehát a következő követelményeket kell teljesíteni: σ(G) σ-algebra legyen; G⊆σ(G) Ha H⊆P(Ω) az Ω egy olyan halmazcsaládja, amelyre teljesül 1. és 2., akkor σ(G)⊆H
A generált σ-algebrák létezése és konstrukciója A burok-előállítás
Tétel: Legyen Ω tetszőleges halmaz, és R⊆P(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(R) σ-algebra, amelynek R minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó σ-algebrának a részhalmaza.
Bizonyítás: Olyan σ-algebra, amely tartalmazza R elemeit, létezik, például a P(Ω) teljes σ-algebra. Az R összes elemét tartalmazó Ω feletti σ-algebrák D halmaza tehát nem üres. Ezért képezhetjük a halmazrendszer-metszetét, legyen ez ∩D. Ez is tartalmazni fogja az R összes elemét a konstrukciója folytán (egy halmazrendszer minden elemének részhalmaza a rendszer metszetének is részhalmaza). ∩D σ-algebra lesz. Minthogy halmazalgebrák családjának metszete, azért maga is halmazalgebra,Ld. Halmazalgebra/Metszetképzésre való zártság; 2. tétel elegendő csak azt belátni, hogy zárt a megszámlálható unióképzésre. Valóban, legyen tetszőleges halmazsorozata A0, A1, ..., An, ... ∈∩D, ekkor minden i∈N-re és minden S∈D-re A1∈S volt , ezért – lévén az S-ek σ-algebrák, unió-zártak tehát – eleme volt minden S-nek, tehát eleme lesz metszetüknek, ∩D-nek. Összefoglalva, ∩D egy megfelelő σ-algebra. Most már csak azt kell belátni, hogy a legszűkebb; ami szintén igaz, mert bármely, az R-t részhalmazként tartalmazó W σ-algebrának a részhalmaza lesz. Hiszen W∈D a D definíciója szerint (D épp az R-tartalmazó σ-algebrák halmaza), ezért érvényes ∩D = W∩(∩(D\{W})⊆W (vagyis D metszetét úgy állítottuk elő, hogy kivettük belőle W-t, képeztük a maradék rendszer metszetét, majd ezt metszettük W-vel), hiszen tetszőleges A,B halmazokra A∩B⊆A. ■ QED.
A transzfinit konstrukció
Legyen Ω tetszőleges halmaz, és R⊆P(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Legyen továbbá tetszőleges R⊆P(Ω) halmazcsalád esetén
c(R) := {X∈P(Ω) | Ω\X = R∈R};Vagyis az R-beli halmazok Ω-ra vonatkozó komplementereiből álló halmaz; u(R) := { Z∈P(Ω) | (∃A∈P(P(Ω)) :( Z=∪(A) ∧ |A|≤χ0 ) }.Vagyis az R-beli halmazok egyesítésével kapható halmazok halmaza.
Definiáljuk a következő halmazokat:
σ0 := R; σ1(R) := {R}∪{c(R)} ∪ { u({R}∪{c(R)}) };
Vagyis ez utóbbi az R-ből és elemei komplementereiből összeunionálható összes halmaz halmaza. Hasonlóan:
σ2(R) := {σ1(R)}∪{c(σ1(R))} ∪ { u({σ1(R)}∪{c(σ1(R))}) };
Továbbá, ha már definiáltuk σn(R)-t valamely n∈N természetes számra, akkor tovább a következőképp folytathatjuk:
σn+1(R) := {σn(R)}∪{c(σn(R))} ∪ { u({σn(R)}∪{c(σn(R))}) };
Ha R maga nem véges, akkor az halmaz elemeit (azaz ) általában nem a teljes R generálta σ-algebra, sőt általában maga nem is σ-algebra .
Hasonlóan folytathatjuk a konstrukciót tetszőleges rendszámra. Rákövetkező rendszámra az előzőleg konstruált σ-halmazt, ennek komplementereit tartalmazó rendszer unióját és ezen unió tagjai unióját képező rendszereket egyesítjük:
σr+1(R) := {σr(R)}∪{c(σr(R))} ∪ { u({σr(R)}∪{c(σr(R))}) };
Valamely β limesz-rendszámhoz érvén, viszont először egyesítjük az összes addig konstruált (tehát kisebb rendszámokhoz tartozó) σ-halmazt:
– ahol O[β] a β-nál szigorúan kisebb rendszámok halmaza (bár a rendszámok nem alkotnak halmazt, a kezdőszeletek igen) – és csak aztán egyesítjük az így kapott transzfinit uniót meg a komplementereinek halmazát meg az így kapott egyesítés elemeiből kapható egyesítések halmazát:Ez a bonyolultabb procedúra csak azért szükséges a limesz-rendszámokra, mert az egyszerűbb konstrukciót a „közvetlenül megelőző” rendszámra kellene végrehajtani, de ha β limesz-rendszám, nincs ilyen – nincs „utolsó” rendszám a β előtt, aminek a σ-halmazát képezhetnénk; de természetesen szükségünk van az összes már generált halmazra, hogy az algebra zárttá váljon, ezért az összes megelőző σ-halmazt egyesíteni kell.
σβ(R) := {σ<β(R)}∪{c(σ<β(R))} ∪ { u({σ<β(R)}∪{c(σ<β(R))}) };
A transzfinit indukció tétele biztosítja, hogy minden rendszámhoz egyértelműen tartozzon, jól definiált legyen egy-egy σ-halmaz. Ha van olyan rendszám, amelyhez olyan σ-halmaz tartozik, amely megegyezik a következő rendszámhoz tartozó σ-halmazzal, akkor van legkisebb ilyen r rendszám is. Nevezzük ezt „lezárási rendszámnak”. Ekkor σ(R) = σr(R), a konstrukció tkp. befejeződött.
Ilyen rendszám pedig mindenképp létezik. Ha nem, akkor az azt jelenti, hogy bármely q rendszámhoz tartozik egy olyan Sq∈σ(R) halmaz, ami egyetlen r-nél kisebb rendszámhoz tartozó σ-halmazban sincs benne. Valóban, egyrészt evidens, hogy ha r<q, akkor σr(R)⊆σq(R). Mármost a konstrukciót csak akkor van értelme folytatni, ha valódi tartalmazás is fennáll, hiszen ellenben már nem bővül σ-halmaz új uniókkal és komplementerekkel, tehát zárt a kívánt halmazműveletekre. Viszont ha valódi tartalmazás áll fenn, az épp azt jelenti, hogy a mondott tulajdonságú Sq halmaz létezik, azaz van olyan Sq, ami σq(R) eleme, de σr(R)-nek nem. Ekkor a fenti tartalmazási reláció miatt S egyik r-nél kisebb rendszámú σ-halmaznak sem eleme. Tehát tekintsük az összes Sq halmazt! Rendeljük hozzá mindegyikhez a hozzá tartozó rendszámot (Sq-hoz a q-t)! Így egy f hozzárendelést, ún. operációt kapunk. A pótlás axiómája miatt, amely szerint egy halmazon értelmezett operáció értékkészlete is halmaz, ha az Sq-k sokasága halmaz lenne, akkor a rendszámok sokasága is halmaz lenne, viszont ez utóbbi nem az. Ebből következően az Sq-k sokasága nem halmaz. Viszont mindegyik eleme a σ(R) halmaznak, tehát a sokaság egy halmaz részosztálya, ami halmaz kellene, hogy legyen (ez lényegében a részhalmaz-axióma következménye). Ez ellentmondás, amely ama feltételezésből következik egyenesen, hogy nem létezik lezárási rendszám. Az ellentmondás feloldása, hogy a feltételezés hamis, és mégiscsak létezik egy lezárási rendszám. ■ QED.
Motiváció
A fenti tétel – amely tkp. „konstruktív” abban a tág értelemben, hogy direkt módon előállít egy σ-algebrát halmazelméleti eszközökkel – mégis sajátosan „inkonstruktív” abban az értelemben, hogy szinte semmit nem mond a belső struktúráról, az elemek egymáshoz való viszonyáról; azaz magát a σ-algebrát „megkonstruálja”, de az elemeit nem. Ha általánosan, specializáció nélkül vizsgáljuk a σ-algebrákat, akkor meg is kell nyugodnunk ebben:
Emiatt, mely tulajdonság más struktúrákhoz (pl. a generált algebrai részstruktúrák) képest szokatlan jellemzője a σ-algebráknak, ad hoc általában már egy halmazalgebrát is nehéz elkészíteni, nemhogy egy erősebb követelményeket kívánó σ-algebrát; mondjuk ha veszünk néhány halmazt, és egy olyan algebrát akarunk, ami ezeket tartalmazza; különösen ha nem diszjunkt halmazokból indulunk ki, hiszen figyelni kell arra, hogy a tagok megszámlálható uniója, komplementere (ebből következően, a metszetük, különbségük) eleme legyen az algebrának – csakhogy erre nem is olyan könnyű „figyelni”, mert a szükséges műveletek túlhaladhatják a finit konstrukciók kereteit.
Ez az egyik ok, ami miatt nehéz „frappáns”, explicite konstruktív módon (pl. elemeinek „felsorolásával”), azaz másképp, mint a generálási tételre hivatkozva, definiálni egy-egy adott σ-algebrát. Bár egy adott σ-algebra esetén egy adott P(Ω)-beli részhalmazról általában könnyen eldönthető, mérhető-e vagy sem (pl. adott függvényről, hogy Riemann-Darboux- vagy Lebesgue-integrálható-e, vagy adott alakzatról, hogy van-e területe), mégis, általában igen nehéz jól kezelhető, karakterisztikus kritériumot adni annak eldöntésére, hogy mely részhalmazok mérhetőek. Ha már a sok tekintetben „legkézenfekvőbb”, legszűkebb σ-algebrák szerkezete is bonyolult, akkor logikusan még nehezebb általában a σ-algebrák elemeinek karakterizálása.
Összefoglalva, általában nem olyan könnyű megmondani, hogy egy néhány halmazból építeni kezdett σ-algebrának konkrétan mi az összes eleme, ennek ellenére mégis nyugodtan beszélhetünk olyan σ-algebráról, ami tartalmazza az általunk kiválasztott halmazokat, hiszen a generált σ-algebra mindig létezik.
További tételek Monotonitási tétel
⊆-monotonitás: A generátorrendszer bővítése a generátumot is bővíti, azaz: Ha A és B az Ω feletti halmazrendszerek, és A⊆B, akkor σ(A)⊆σ(B). Speciálisan, σ(A)⊆σ(A∪B), sőt, ha {Ai}i∈I∈IP(P(Ω)) az Ω feletti halmazrendszerek (v. hz.családok) egy tetszőleges családja, akkor (bármely i∈I esetén- I valamilyen indexhalmaz).
Bizonyítás: σ(A) azon Ω feletti σ-algebrák metszete, melyeknek A részhalmaza, míg σ(B) azoké, melyeknek B a részhalmaza – de ekkor A⊆B miatt mindegyik utóbbinak A is részhalmaza. Vagyis ha X∈σ(A), az pontosan azt jelenti, hogy X eleme minden, az A-t részként tartalmazó σ-algebrának; na de ilyenek azok is, amelyek B-t tartalmazzák részként, mert ezek B egy részét, A-t is tartalmazzák részként. Ergo, X eleme minden, a B-t részként tartalmazó σ-algebrának, vagyis a metszetüknek is, vagyis σ(B)-nek. ■ QED
Lezárás
Tétel: Definiáljuk tetszőleges Ω halmaz esetén a következő ψ függvényt: ψ P(P(Ω))→P(P(Ω)); ψ(∅)=∅, ha X≠∅, ψ(X)=σ(X). Ezzel az előírással ψ(X) egy lezárási operátor P(P(Ω))-n.Azért nem lehet egyszerűen ψ(X)=σ(X), mert σ(X) nem egy lezárási operátor (legalábbis topológiai értelemben) az Ω feletti halmazcsaládok között, ugyanis az 1. tulajdonságot (f(∅)=∅) nem teljesíti, hiszen az üres rendszer által generált σ-algebra a triviális/minimális {∅, P(Ω)} rendszer.
Bizonyítás: 1). Definíció szerint ψ(∅)=∅; 2). X⊆σ(X), hiszen σ(X) def. szerint a legszűkebb σ-algebra, aminek az X része; 3. Az üreshalmazra ψ(ψ(∅))=ψ(∅)=∅, ha meg X≠∅, akkor ψ(ψ(X)) = σ(σ(X)) = σ(X) = ψ(X). Már az első egyenlőségnél is felhasználtuk, hogy σ(X)≠∅, ami valóban teljesül, hiszen egy σ-algebra sosem üres. ■ QED
A generált algebra a megszámlálható részcsaládok generátumai uniója
A következő (a fent vázolt probléma kezeléséhez vajmi kevés segítséget nyújtó) tétel egy halmazcsalád generálta σ-algebrát a megszámlálható részcsaládok által generált algebrák uniójaként állítja elő:
Tétel: ha G tetszőleges Ω feletti halmazcsalád, akkor a σ(G) generált σ-algebra megegyezik a G összes megszámlálható részcsaládjai által generált σ-algebrák egyesítésével, azaz:
Ha Ω és G végtelen, akkor a képletben ≤ helyett = is írható, azaz σ(G) a G összes megszámlálhatóan végtelen részcsaládja generátumainak uniója. Véges esetben ez már persze nem lenne igaz, hiszen véges halmazcsaládnak nincs is megszámlálhatóan végtelen részcsaládja, így az unió üres lenne. Végtelen esetben viszont nyugodtan megfeledkezhetünk a véges részcsaládokról, hiszen mindegyik része valamelyik végtelen részcsaládnak, és ha végtelenné bővítjük a generátorrendszert, akkor a generátum is bővül.
Bizonyítás: legyen a fenti képletben szereplő unióhalmaz röviden U! Többé-kevésbé nyilvánvaló, hogy a megszámlálható részcsaládok generátumai elemei a generált σ-algebrának (az unió-zártság miatt ezek uniója, meg azok komplementere is eleme a generált algebrának, tehát a generátumok összes eleme benne kell hogy legyen σ(G)-ben, tehát a generátumok U uniója része kell hogy legyen a generált σ-algebrának; azaz U⊆σ(G). Elegendő tehát belátni, hogy ezen unió tartalmazza a G összes elemét ezen unió maga is egy σ-algebra;
Ha az 1. és 2. igaz, akkor az U unió a G-t tartalmazó σ-algebra, és ekkor a σ(G) generált algebra mint az összes G-t tartalmazó σ-algebra metszete, automatikusan része U-nak: σ(G)⊆U, ezt a fentebbi U⊆σ(G) megállapítással összevetve, U=σ(G).