bélyegkép|300px A geometriában a Hérón-képlet a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:
ahol a, b és c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe.
A képletet az alexandriai Hérón vezette be, de a kínaiak is ismerték a 13. században. Qin Jiushao könyvében is szerepel. Más alakokban A háromszögekre vonatkozó Hérón-képlet további alakjai: (V1) Kiszorozva: (V2) Egy további ábrázolás: (V3) Az oldalhosszak tetszés szerint cserélgethetők. ami a (V1)-ből átcsoportosítással és a binomiális formulákkal a következő alakra hozható:
A (V3)-as verzió determináns alakban is írható: (V4)
Ez a Cayley-Menger-determináns speciális esete, amivel egy tetszőleges dimenziójú szimplex térfogata kiszámítható. Erre egy másik példa a tetraéder térfogata.
A (V4) megkapható a (V3)-ból a Laplace-féle kifejtési tételből és elemi mátrixátalakításokkal:
Számolási példa Legyenek a háromszög oldalai , és , ekkor a félkerület . A képletbe helyettesítve a terület: .
A képlet egy másik alakjával: . Ebben a példában egy Hérón-háromszög szerepel, mivel az oldalhosszak, és a terület is egész szám.
Bizonyítás Elemi
Teljesen elemi (a Pitagorasz-tételre és nevezetes azonosságokra épülő) bizonyítása történhet az általános magasságtétel segítségével.
A Pitagorasz-tétel szerint és . Kivonással , tehát . A háromszög magasságára teljesül, hogy . Behelyettesítve
Ha négyzetgyököt vonunk, akkor
Következik, hogy a terület
Koszinusztétellel A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:
illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:
Ha a fenti képletbe behelyettesítjük a értékét, vagyis
akkor pont a Hérón-képletet kapjuk. Kotangenstétellel
Legyen a háromszög beírt körének sugara ! Ekkor a terület a kotangenstétellel
A háromszögekre vonatkozó egyenlőséggel következik, hogy
Emellett teljesül még, hogy Ezzel beszorozva kapjuk, hogy
innen pedig a Hérón-képletet.
Geometriai 400px|keretnélküli|jobb|Hasonló háromszögek Elég annyit belátni, hogy
mert ebből már következik, hogy
Az ábráról leolvasható, hogy és
valamint az és derékszögű háromszögek hasonlók.
Könnyen igazolható, hogy és , tehát A tétel általánosítása gömbháromszögekre vonatkozóan a l'Huillier-tétel.
Más Hérón-képletek A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni:
A húrnégyszög területe
,
ahol . Ezt nevezik Brahmagupta képletének is.
Az általános konvex négyszög területe
,
ahol s, mint előbb, , és α és γ a négyszög két szemben fekvő szöge.
Az egyenlő oldalú tetraéder térfogata:
ahol a, b, c a tetraéder egy lapjának oldalhosszai, és .
Kapcsolódó szócikkek Brahmagupta indiai matematikus
Jegyzetek
Források A Matematika Tanítása 2001. 5. szám Eric W. Weisstein, "Heron's Formula." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
Fordítás
Kategória:Háromszögek