Egy véges vagy végtelen (an) = (a1, a2, a3, ...) (szám)sorozat különbségsorozatának nevezzük azt a (dn) sorozatot, melynek n-edik tagja:
dn = Δan = an+1-an, ahol n>0 természetes szám.Ha adott két számsorozat, (an) és (bn), akkor ezek különbségsorozatának szokás nevezni az (an-bn) sorozatot is. A „különbségsorozat” ezen homonim használata ugyanakkor ritkábban fordul elő és kevésbé jelentős. Vagyis a különbségsorozat első tagja az eredeti sorozat második és első tagjának különbsége, második tagja az eredeti sorozat harmadik és második tagjának különbsége, s.í.t.
A különbségsorozat fogalma a fenti módon értelmezhető, általánosítható tetszőleges kvázicsoport elemeiből képezett sorozatokra is.
Példák
Képezzük a négyzetszámok N sorozatának – tehát Nn := (1, 4, 9, 16, 25, ... n2, ...) – különbségsorozatát: ΔN1 = N2-N1 = 4-1 = 3; ΔN2 = N3-N2 = 9-4 = 5; ΔN3 = N4-N3 = 16-9 = 7; ΔN4 = N5-N4 = 25-16 = 9; s.í.t. ... általában: ΔNn = Nn+1-Nn = (n+1)2-n2 = (n2+2n+1) – n2 = 2n+1
azaz a négyzetszámok sorozatának különbségsorozata az egynél nagyobb páratlan számok sorozata.
További példák (rendre az 1 értéket felvevő konstans sorozat, a pozitív egészek, a páros számok, a tíz többszörösei, a négyzetszámok, a kettő- és a háromhatványok sorozatainak különbségsorozata):
s.: 1 1 1 1 1 ... k.s.: 0 0 0 0 ...
s.: 1 2 3 4 5 ... k.s.: 1 1 1 1 ...
s.: 2 4 6 8 10 ... k.s.: 2 2 2 2 ...
s.: 10 20 30 40 50 ... k.s.: 10 10 10 10 ...
s.: 1 4 9 16 25 ... k.s.: 3 5 7 9 ...
s.: 2 4 8 16 32 ... k.s.: 2 4 8 16 ...
s.: 3 9 27 81 243 ... k.s.: 6 18 54 162 ...
Tételek, alkalmazások Rekurzív jellegű általános összefüggések
A különbségsorozat definíciója szerint Δan = an+1-an minden n>0-ra. Ezért tetszőleges (an) sorozatra érvényes a következő, rekurzív jellegű összefüggés: an+1=an+Δan
Kiindulva ebből, rekurzív jellegű képletből, írjuk fel rendre a sorozat tagjait a következő sorozatos behelyettesítéseket alkalmazva: a2 = a1+Δa1; a3 = a2+Δa2 = (a1+Δa1)+Δa2 = a1+(Δa1+Δa2); a4 = a3+Δa3 = [a1+(Δa1+Δa2)]+Δa3 = a1+(Δa1+Δa2+Δa3) s. í. t. ...
Hasonlóan haladva és teljes indukcióval bizonyíthatóan, an = a1+Δa1+Δa2+ ... +Δan-1, tömörebben .
Algebrai tulajdonságok
Két, valamely csoport elemeiből álló sorozat összegének és különbségének különbségsorozata a különbségsorozatok összege:
Δ(a±b)n = Δan±Δbn,
hiszen Δ(a±b)n = (a±b)n+1±(a+b)n) = (an+1±bn+1)-(an±bn+1) = (an+1-an)±(bn+1-bn) = Δan±Δbn.
Egy R félgyűrű felett értelmezett sorozat skalárszorosának (elemszeresének) (α∈R) különbségsorozata az eredeti sorozat különbségsorozatának számszorosa:
Δα(an) = α(Δan),
hiszen Δαan = (αa)n+1-(αa)n = α·an+1-α·an = α(·an+1-·an) = α(Δan).
Sorozatok kategorizálása
Egy számsorozat akkor és csak akkor konstans, ha különbségsorozata minden tagja 0. Egy másik elnevezés: nulladrendű számtani sorozat. Egy számsorozatot számtani sorozatnak nevezünk, ha különbségsorozata állandó (konstans) sorozat. Egy másik elnevezés: elsőrendű számtani sorozat. Az elsőrendű számtani sorozatok különbségsorozata tehát nulladrendű számtani sorozat. Egy számsorozatot n-edrendű számtani sorozatnak nevezünk, ha nulladrendű számtani sorozat (n=0), vagy ha különbségsorozata n-1-edrendű számtani sorozat (n>0). Ezek épp azok a számsorozatok, melyek i-edik tagja egy legfeljebb n-edfokú egyhatározatlanú polinom határozatlanjának helyébe i-t helyettesítve adódik (ai = α0+α1i+...+αnin).
Általánosítások
Egy (an) sorozat különbségsorozatának különbségsorozata az eredeti sorozat másodrendű különbségsorozata (jele Δ2(a)n). Hasonlóan definiáljuk a magasabbrendű különbségsorozatokat: egy sorozat k+1-edrendű különbségsorozata a k-adrendű különbségsorozatának különbségsorozata (jele Δk(a)n).
Hivatkozások Jegyzetek
Kategória:Elemi matematika