A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752–1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.
Definíció
Ha prímszám és egész szám, akkor az Legendre-szimbólum értéke: 0, ha osztja -t, 1, ha kvadratikus maradék -re nézve – azaz van olyan egész hogy , –1, ha kvadratikus nemmaradék -re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú egész szám
A Legendre-szimbólum tulajdonságai A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:
(felső változójában teljesen multiplikatív függvény) Ha , akkor
Ha páratlan prím, akkor , azaz 1, ha és – 1, ha Ha páratlan prím, akkor , ami 1, ha vagy és – 1, ha vagy Ha és páratlan prímszámok, akkor
Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.
Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:
A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.
Általánosítás
A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.
Külső hivatkozások Az Euler-kritérium
Kategória:Számelmélet