A Muirhead-egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség általánosításaként ismert a matematikában, az előbbinél jóval több esetben használható.
Az „a-közép” Bármely valós vektor esetén
az x1,...,xn számok „a-közepe” [a] a következő:
ahol az összeg az {1,...,n} számok minden π permutációjára kiterjed.
Az egyenlőtlenség Két n dimenziós vektort, a-t és b-t tekintve, az összeg szimmetriája miatt feltehető, hogy
Minden x1,...,xn nemnegatív szám esetén, [a]≤[b] akkor és csak akkor, ha a következő állítások igazak:
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség származtatása Legyen a két vektor, a és b, a következő:
A fenti két vektorra teljesül a Muirhead-egyenlőtlenség, tehát bármilyen nemnegatív szám n-esre igaz, hogy [a]≤[b], hiszen
Ekkor tetszőleges x1,...,xn nemnegatív számok esetén
és
hiszen minden xi-t összeadunk (n-1)!-szor, majd elosztunk n!-sal, így minden számot -szer adunk az összeghez. Ezekből következik, hogy
További információk
Combinatorial Theory by John N. Guidi, based on lectures given by Gian-Carlo Rota in 1998, MIT Copy Technology Center, 2002. Kiran Kedlaya's guide to solving inequalities at . Simple explanation with examples Reference on PlanetMath (Muirhead's theorem)
Kategória:Egyenlőtlenségek