Az aritmetika alapjai (Die Grundlagen der Arithmetik, rövid idegen néven Grundlagen) Gottlob Frege jénai matematikus 1884-ben írt műve. A mű eredeti, teljes német címe Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (Breslau, 1884); azaz Az aritmetika alapjai: a számfogalom logikai-matematikai vizsgálata. E mű magyarul is megjelent (ld. az irodalomjegyzéket) .
E munkájában Frege alapvetően három tudományos feladatba vág bele és végzi el ezeket gyakorlatilag teljes sikerrel:
1. A természetes számok megalapozásával kapcsolatosan kimutatja a matematikában, filozófiában és egyéb tudományokban addig és akkoriban elterjedt számfelfogások és számdefiníciók filozófiai és matematikai tarthatatlanságát, irrelevanciáját; 2. Vázolja a természetes számok egy lehetséges, matematikai logikára alapuló megalapozását és ezzel valószínűsíti egy ilyen felépítés lehetőségét, illetve vázlatosan kitér a bővebb számkörök (valós, komplex) megalapozásának problematikájára; 3. Ezzel pedig (amennyiben az előbbi megalapozási út helyesnek bizonyul) bizonyítja azt a filozófiai tézisét, hogy az aritmetika a logika része.
Frege szerint a számok fogalmak, mégpedig olyan fogalmak, melyek a „fogalmakat jellemzik”. Bizonyos fogalmakat „azonosítani” tudunk, egy osztályba sorolni egy bizonyos ekvivalenciareláció által. Ez az „X fogalom alá ugyanannyi tárgy esik, mint az Y fogalom alá” reláció lesz, de az „ugyanannyi” szót az önhivatkozás elkerülése végett ki kell még küszöbölni, mégpedig az ún. Hume-elv által (Hume „Az emberi természetről” c. művében írja, hogy valamiből ugyanannyi van, mint másvalamiből, ha az egyik fajtában lévő minden dologhoz pontosan egy dolog tartozik a másikból, és fordítva). tehát az egy adott szám mint fogalom alá eső „tárgyak” maguk is fogalmak. Ezt úgy mondja Frege, hogy a számok másodfokú fogalmak. Ezért van az, hogy az aritmetika törvényei bizonyára logikai törvények: minthogy nem empirikus dolgokról, hanem az ezekből logikailag képzett fogalmakról állítanak valamit. A számokra vonatkozó általános állítások ezért nem természettörvények, hanem ezeknek a törvényeknek a törvényei: eme státuszuk magyarázza, hogy alkalmazhatóak a természetre; és emiatt téveszthetőek össze könnyen az empirikus állításokkal.
A mű története
Öt évvel a Fogalomírás megjelenése, és néhány, a fogalomírás témáját tovább boncolgató cikke után jelentette meg, Carl Stumpf tanácsára . E törekvését ha elismerés nem is, de siker mindenesetre koronázta: az Aritmetika alapjai poroszos precízséggel felépített, részletes és alapos, ugyanakkor tömör és világos nyelvezettel megfogalmazott mű, az érthető és emberarcú filozófia és matematika örök példája.
Frege valószínűleg levonta előző műve, a Fogalomírás hűvös fogadtatásának tanulságait, és megfogadta Carl Stumpf azon tanácsát, hogy a kérdéses témába vágó gondolatait és indokait fejtse ki részletesen is a nagyközönség számára érthetőbb, köznyelven írott formában, mivelhogy „ez mindkét munka fogadtatására nézve kedvezőbb lenne”.
Tartalom
(az oldalszámozás az Áron Kiadónál megjelent kiadásra vonatkozik (ld. Irodalom).
Fejezet vagy bekezdés száma A fejezet címe vagy egy alfejezet hosszabb-rövidebb, egy-két mondatos összefoglalója Oldalszám
Bevezetés
Bevezetés (Előszó) 11. Bevezetés 21. 1. § A matematikában újabban felismerhető a törekvés a bizonyítások szigorúságára és a fogalmak pontos megragadására. 2. § A vizsgálatnak végső soron ki kell terjednie a számosság fogalmára. A bizonyítás célja. 3. § Az ilyen vizsgálódás filozófiai indítékai: azon vitás kérdések, hogy a számok törvényei vajon analitikus vagy szintetikus igazságok, a prioriak vagy a posterioriak-e. E kifejezések értelme. 4. § Könyvünk feladata
I. fejezet
I. f. Néhány szerző véleménye az aritmetikai tételek természetéről 25 Bizonyíthatóak-e a számformulák? 25 5. § Kant tagadja ezt; nézetét Hankel joggal nevezi paradoxnak. 6. § Leibniz bizonyítása arra, hogy 2+2=4, tartalmaz egy hézagot. Grassmann definíciója a+b-re hibás. 7. § Mill nézete, miszerint az egyes számok definíciói megfigyelt tényeket állapítanak meg, megalapozatlan. 8. § Ezeknek a definícióknak a jogosságához nem szükséges a szóban forgó tények megfigyelése Induktív igazságok-e az aritmetika törvényei? 31 9. § Mill természettörvénye. Amikor Mill aritmetikai igazságokat természettörvénynek nevez, összetéveszti ezeket alkalmazásaikkal. 10. § Indokok azzal szemben, hogy az összeadás törvényei induktív igazságok: a számok nem egyformák; nem áll, hogy már a definíció által birtokunkban van a számok közös tulajdonságainak egy csoportja; valószínűleg megfordítva, az indukciót kell az aritmetikára alapozni. 11. § A leibnizi „velünk született” Az aritmetika törvényei szintetikus a prioriak-e, vagy pedig analitikusak? 36 12. § Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. A belső szemlélet, mint megismerési alap. 13. § Az aritmetika és a geometria különbözősége. 14. § Az igazságok összehasonlítása az általuk kormányzott terület szempontjából. 15. § Leibniz és St. Jevons nézetei. 16. § Hogyan becsüli le ezzel szemben Mill „a nyelv ügyes kezelését”. A jelek azért még nem üresek, mert semmi észlelhetőt nem jelentenek. 17. § Az indukció elégtelensége. Feltételezzük, hogy a számok törvényei analitikus ítéletek; miben áll akkor a hasznuk. Az analitikus ítéletek értékéről
II. fejezet
II. f. Néhány szerző véleménye a számosság fogalmáról 43 18. § A számosság általános fogalma vizsgálatának szükségessége. 19. § A definíció nem lehet geometriai. 20. § Definiálható-e a szám? Hankel. Leibniz Külső dolgok tulajdonsága-e a számosság? 45 21. § M. Cantor és E. Schröder véleménye. 22. § Ezzel szemben Baumann: a külső dolgok nem képeznek szigorú egységeket. A számosság látszólag a mi felfogásunktól függ. 23. § Mill véleménye, mely szerint a szám dolgok aggregátumainak a tulajdonsága, tarthatatlan. 24. § A szám átfogó alkalmazhatósága. Mill. Locke. Leibniz testetlen metafizikai alakzata. Ha a szám valami érzéki volna, nem lehetne nem érzéki dolgoknak tulajdonítani. 25. § Mill fizikai különbségtétele 2 és 3 között. Berkeley szerint a szám nincs reálisan a dolgokban, hanem a szellem alkotja azt. A szám valami szubjektív-e? 50 26. § Lipschitz leírása a számok képzéséről nem találó és nem helyettesítheti a fogalmi meghatározást. A szám nem a pszichológia tárgya, hanem valami objektív. 27. § A szám nem az, aminek Schloemilch véli: egy objektum valamely sorozaton belüli helyének a képzete A számosság, mint halmaz 54 28. § Thomae névadása
III. fejezet
III. f. Vélemények az egységről és az egyről 55 Tárgyak tulajdonságát fejezi-e ki az „egy” számnév? 55 29. § A „monasz” és „egység" kifejezések sokértelműsége. E. Schröder azon meghatározása, mely szerint az egység a megszámlálandó tárgy, láthatóan céltalan. Az „egy” jelző nem tartalmaz semmi közelebbi meghatározást, nem fogható fel predikátumként. 30. § Leibniz és Baumann meghatározási kísérletei nyomán az egység fogalma, úgy látszik, teljesen eltűnik. 31. § Baumann szerint az ismertetőjegyek: osztatlanság és elhatároltság. Az egység Idáját nem mi fűzzük hozzá minden egyes objektumhoz (Locke). 32. § A nyelv mégis mutat valamilyen összefüggést az osztatlansággal és elhatároltsággal, azonban más értelemben. 33. § Az oszthatatlanság, mint ismertetőjegy (G. Köpp) nem tartható Egyenlőek-e egymással az egységek? 60 34. § Az egyenlőség, mint az „egység” név alapja. E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Ha elvonatkoztatunk a dolgok különbözőségétől, ezzel nem kapjuk meg a számosság fogalmát, és a dolgok sem lesznek ezáltal egyenlőek. 35. § A különbözőség még szükséges is, ha sokaságról kell beszélnünk. Descartes. E. Schröder. St. Jevons. 36. § Az egységek különbözőségének nézete is nehézségekbe ütközik. Különböző egységek St. Jevonsnál. 37. § Locke, Leibniz, Hesse számmeghatározásai az egységről vagy az egyről. 38. § Az „egy” tulajdonnév, az „egység” fogalomszó. A szám nem definiálható. egységekként. Az „és” és a + különbözősége. 39. § Az „egység” többértelműsége fedi el annak nehézségét, hogy összebékítsük az egységek egyenlőségét és különbözőségét Kísérletek a nehézség áthidalására 67 40. § Tér és idő, mint a megkülönböztetés eszközei. Hobbes. Thomae. Ezzel szemben: Leibniz, Baumann, St. Jevons. 41. § Nem érünk célhoz. 42. § A sorozaton belüli hely mint a megkülönböztetés eszköze. Hankel tételezése. 43. § Schrödeτ a tárgyakat az 1 jellel képezi le. A nehézség megoldása 72 45. § Visszapillantás. 46. § A szám megadása egy fogalomról szóló kijelentést tartalmaz. Az az ellenvetés, mely szerint változatlan fogalom mellett a szám megváltozna. 47. § A számmegadás tényszerűségét a fogalom objektivitása magyarázza. 48. § Némely nehézségek feloldása. 49. § Megerősítés Spinozánál. 50. § E. Schröder fejtegetése. 51. § Ennek helyesbítése. 52. § Megerősítés egy német szófordulat által. 53. § Különbség egy fogalom ismertetőjegyei és tulajdonságai között. Létezés és szám. 54. § Egységnek egy számmegadás alanyát nevezhetjük. Az egység oszthatatlansága és elhatároltsága. Egyenlőség és megkülönböztethetőség
IV. fejezet