Az Erdős–Rényi-modell a gráfelméletben két rokon, véletlen gráfok előállítására szolgáló modell neve. Az egyik változata egyenlő valószínűséggel választ az összes adott élszámú gráf közül, a másiknál minden él egymástól függetlenül egy adott valószínűséggel van behúzva.
Definíció Az Erdős–Rényi-modellnek két, szorosan összefüggő változata van.
bélyegkép|Erdős–Rényi binomiális modellel, p=0.01 paraméterrel generált gráf. A G(n, M) modellben egyenletes eloszlás szerint választunk egyet az összes n csúcsú, M élű gráf közül. Például a G(3,2) modellben a három, két vonal behúzásával kapható gráf mindegyikét 1/3 valószínűséggel választjuk. A G(n, p) modellben a gráfot az élek véletlen behúzásával kapjuk: minden élt, egymástól függetlenül, p valószínűséggel húzunk be. Más megközelítésben, először a eloszlás szerint választunk egy M-et, majd generálunk egy G(n, M) gráfot. A p egyfajta súlyfüggvényként fogható fel: nagyobb p értékekre nagyobb valószínűséggel kapunk sok élt tartalmazó gráfot. Speciálisan p = 0,5-re egyforma valószínűséggel választjuk mind a lehetséges gráfot.
A p és M paramétereket gyakran n függvényeként adják meg, és azt vizsgálják, mit lehet mondani valamilyen tulajdonság előfordulásának valószínűségéről, ha n tart a végtelenbe. Például a „majdnem minden gráf összefüggő” állítás azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy egy gráf összefüggő, tart az 1-hez, ha n tart a végtelenhez.
A két modell összehasonlítása Ha T egy monoton tulajdonság (azaz ha egy részgráfra teljesül, akkor a teljes gráfra is), akkor T akkor és csak akkor teljesül majdnem minden G(n,p) gráfra, ha majdnem minden gráfra teljesül (ahol tart a végtelenhez).
(Az összefüggés azon alapszik, hogy egy G(n,p) gráf éleinek várható száma , és a nagy számok törvénye szerint minden G(n,p)-gráfnak majdnem biztosan körülbelül ennyi éle lesz, ha n tart végtelenhez. így ha tart a végtelenhez, akkor G(n,p) és között nincs olyan nagy különbség.)
A gyakorlatban inkább a G(n, p) modellt használják, többek között azért, mert az élek függetlensége gyakran megkönnyíti az elemzést.
G(n, p) tulajdonságai G(n, p)-nek átlagosan éle van. Az egyes csúcsok fokszámeloszlása binomiális:
Erdős és Rényi p és n arányával nagyon pontosan jellemezni tudta egy G(n,p) gráf összefüggőségét. Többek között bebizonyították, hogy ha , akkor egy G(n,p) gráfnak majdnem biztosan nem lesz -nél nagyobb összefüggő komponense. Ha , akkor egy G(n,p) gráf legnagyobb összefüggő komponense majdnem biztosan konstansszor nagyságrendű lesz. Ha egy 1-nél nagyobb konstanshoz tart, akkor egy G(n,p) gráfnak majdnem biztosan lesz egy „óriás” összefüggő komponense, ami konstansszor n nagyságrendű lesz, és az összes többi komponens legfeljebb csúcsot tartalmaz. Továbbá: Ha , akkor egy G(n, p) gráf majdnem biztosan nem összefüggő. Ha , akkor egy G(n, p) gráf majdnem biztosan összefüggő.
Más szóval az éles küszöb G(n, p) összefüggőségére. Ezt a jelenséget, amikor egy gráfra egy adott tulajdonság egy bizonyos küszöb alatt majdnem biztosan nem teljesül, a küszöb fölött pedig majdnem biztosan teljesül, fázisátmenetnek nevezik.
Más tulajdonságok is nagy pontossággal leírhatók végtelenhez tartó n mellett. Például van olyan k(n) függvény (ami körülbelül megegyezik -nel), hogy a legnagyobb G(n, 0,5)-beli klikk mérete majdnem biztosan vagy k(n) vagy k(n) + 1.
A majdnem biztosan összefüggő G(n, p) gráfok majdnem biztosan kis-világ tulajdonságúak is.
A modell korlátai A G(n, p) modell két fő feltevése (hogy az élek függetlenek, és minden él megléte egyformán valószínű) a gyakorlatban ritkán teljesül. Az érdekes hálózatok nagy része például skálafüggetlen, egy Erdős–Rényi-gráf viszont nem az. Emellett az Erdős–Rényi-gráfok klaszterezettsége 1/n körül van, a vizsgált hálózatoké pedig gyakran konstans.
Története A G(n, p) modellt először Edgar Gilbert vezette be egy 1959-es cikkében, amiben gráfok összefüggőségének a feltételeit vizsgálta. A G(n, M) modellt Erdős Pál és Rényi Alfréd vezette be, szintén 1959-ben, és szintén az összefüggőséget vizsgálva;
Lásd még Watts–Strogatz-modell Barabási–Albert-modell
Források
Kategória:Gráfelmélet Kategória:Erdős Pál