A forszolás (forcing) a relatív ellentmondás-mentesség és függetlenség bizonyítására alkalmas módszer, a modern matematika történetének egyik legújabb nagy eredménye. A módszer halmazelméleti kidolgozója Paul Cohen, aki a forszolással sikeresen bizonyította a kontinuumhipotézis függetlenségét. A másik jelentős eredmény, amit Cohen maga bizonyított a forszolás segítségével, a kiválasztási axióma függetlensége a Zermelo–Fraenkel axiómarendszertől.
A halmazelmélet modellje vagy a teljes , vagy annak egy nagy, de véges részhalmazának modellje. A modell tranzitív, hogyha , akkor . A forszolás alapgondolata, hogy a halmazelmélet egy tranzitív modelljét (the ground model) úgy bővítjük, hogy hozzáveszünk egy új G halmazt (a generic set), hogy ezáltal a halmazelméletnek egy tágabb tranzitív modelljéhez jussunk M[G], amit eztán bővebb modellnek (generic extension) nevezünk. A G halmaz közelítése az alapmodellben meghatározott forszolási feltételek által történik, s e feltételek megfelelő kiválasztása meghatározza, hogy mi igaz a bővebb modellben.Jech
A módszer 1963-as bevezetése óta a forszolást számos esetben alkalmazták, sőt, (bizonyos továbbfejlesztéseknek köszönhetően) meghatározó szerepe lett a modellmódszeres relatív ellentmondás-mentességi bizonyítások körében. A leíró halmazelmélet mind a rekurzióelméletben, mind a halmazelméletben használja a forszolás jelölésrendszerét. A modellelméletben általában közvetlenül definiálják az általánosságot a forszolás említése nélkül.
Intuitív megközelítés Maga a forszolás ekvivalens a Boole-értékű modellalkotással, ami természetesebben és intuitívabban hat, de nehezebb megvalósítani.
Legyen az univerzum . A forszolás ezt kibővíti egy nagyobb univerzummá. Ebben az új univerzumban számos halmaz lehet, amelyek nem voltak meg a régi univerzumban, így megsérthetik a kontinuumhipotézist. Ez a Cantor-paradoxon megfogalmazása a végtelenről. Elméletben vehetjük ezt is:
,
ahol azonosítjuk az elemeket az elemekkel. Az halmazok számára új eleme relációt vezetünk be. A forszolás ennek továbbfejlesztett változata, ami a kiterjesztésben egyetlen új halmaz meglétét bizonyítja, és részletesen szabályozhatóvá teszi az új univerzum tulajdonságait.
Cohen eredeti módszere, az elágazó forszolás lényegesen különbözik az itt ismertetett nem elágazó forszolással.
Forszoló posetek Egy forszoló poset egy rendezett hármas, ahol kvázirendezés a halmazon, ami eleget tesz a következő hasító feltételnek:
Minden elemhez van olyan , hogy úgy, hogy nincs olyan , hogy . legnagyobb eleme , azaz minden elemre. elemei forszolási állapotok, vagy röviden állapotok. A relációt úgy mondjuk, hogy erősebb, mint . Intuitívan, a kisebb halmaz több információt nyújt, például a több információt nyújt a pi számról, mint a
Emellett egyes szerzők más konvenciókat is feltételeznek, például kikötik, hogy antiszimmetrikus legyen, tehát részbenrendezésről van szó. Mások eleve a részbenrendezést követelik meg, szemben a többségi terminológiával, ami kvázirendezést ír elő. A másik irányú rendezést is használják, különösen Saharon Shelah és társai. -nevek A forszoló posethez asszociáljuk (kapcsoljuk) a -nevek osztályát. Az A halmaz -név, ha
Ez egy transzfinit rekurziót is magába foglaló definíció. Pontosabban, a transzfinit rekurziót először a következő hierarchia definiálására használják:
Ekkor a -nevek osztálya definiálható, mint:
A nevek valójában a Neumann-univerzum kiterjesztései. Ha adott, akkor a -neve:
Ez szintén egy transzfinit rekurzióval megadott definíció. Értelmezés Bármely adott része halmazra definiáljuk az értelmezés vagy kiértékelés leképezést a -nevek halmazából:
Ez újra egy transzfinit rekurzióval megadott definíció. Jegyezzük meg, hogy ha , akkor . Most
úgyhogy . Példa A forszoló halmazra jó példa a , ahol és az Borel-halmazai közül azok, amelyeknek nem nulla a Lebesgue-mértéke. Ekkor beszélhetünk a feltételekről, mint valószínűségekről, és egy -név valószínűségi értelemben jelent tagságot. A valószínűségszámítási nyelvezetet más forszoló posetek esetén is használják.
Megszámlálható tranzitív modellek és generikus szűrők Adott -univerzum esetén a forszolás kulcslépése az, hogy találjunk egy alkalmas objektumot, ami nem eleme -nek. A -nevek összes értelmezésének eredményként kapott osztályáról belátjuk, hogy a modellje, és valódi bővítése -nek, mivel .
Ahelyett, hogy -vel foglalkoznánk, egy megszámlálható és tranzitív modellt veszünk, hogy . A Mostowski-féle suvasztási lemma szerint a tranzitivitás feltehető a modellben, ha az eleme reláció jóldefiniált. A tranzitivitás miatt az eleme és a többi elemi reláció intuitívan kezelhető. A megszámlálhatósági követelmény a Löwenheim-Skolem-tétel miatt kell.
A Russel-paradoxon miatt, mivel halmaz, azért van olyan halmaz, ami nem eleme -nek. A halmaz szűrő, ha nem eleme -nek, és:
ha , akkor ; ha , akkor van olyan hogy .
A generikusság a következőt jelenti: Ha sűrű -ben (azaz minden -hez van úgy, hogy ), akkor .
A generikus szűrő létezése következik a Rasiowa-Sikorski-lemmából. Valójában több is igaz: adott állapot esetén, van hogy . A hasítási állapot miatt, ha szűrő, akkor sűrű. Ha , akkor , mivel modellje. Emiatt generikus szűrő nem lehet -ben.
Az eljárás Adott esetén a forszolás így működik: Az -nevek halmazát -ben jelöli. Legyen . halmazelméletének halmazelméletére való redukálásához az elsőrendű logikán alapuló forszoló nyelvet használjuk, ahol az eleme egy bináris reláció, a -nevek pedig konstansok.
Definiáljuk a relációt (kiolvasva: forszolja -t az modellben a posettel), ahol állapot, a forszoló nyelv formulája, és az -k -nevek. Vagyis ha generikus szűrő, ami tartalmazza -t, akkor . Az speciális esetet úgy is írják, mint ” vagy egyszerűen “. Az ilyen állítások igazak -ben, függetlenül attól, hogy mi .
Fontos megjegyezni, hogy a forszoló relációnak ez a külső definíciója megegyezik az -en vett belső definícióval. Ezt az és -neveinek halmazán végzett transzfinit indukcióval határozzuk meg, és utána a formulák bonyolultsága szerint végzett teljes indukcióval. Ennek következtében tulajdonságai -nek is tulajdonságai, innen egyenesen következik teljesülése -ben. Ezt rendszerint a következő tulajdonságokkal jellemzik: Igazság: akkor és csak akkor ha forszolja, vagyis bizonyos állapotra teljesül . Definiálhatóság: Az “” állítás definiálható -ben. Koherencia: Ha és , akkor .
Definiáljuk a forszoló relációt -ben a formulák bonyolultsága szerint, először az atomi formulákra az -indukció szerint, utána bármely formulára:
1. akkor és csak akkor, ha .
2. akkor és csak akkor, ha .
3. akkor és csak akkor, ha .
4. akkor és csak akkor, ha .
5. akkor és csak akkor, ha .
Ellentmondás-mentesség A fenti diszkusszió eredménye összegezhető fundamentális ellentmondás-mentességi eredményként, azaz adott forszoló poset mellett feltehetjük a generikus szűrő létezését, ami nem eleme a univerzumnak, így szintén halmazelméleti modell a -axiómákra. Továbbá igazságai a forszoló reláció szerint redukálhatók igazságaira.
Gyakran használt módszer hozzávétele akár az modellhez, akár a univerzumhoz. Ritkábban találkozhatunk a forszolás belső megközelítésével, ahol nincsenek megemlítve halmaz- vagy osztálymodellek. Ez volt Cohen eredeti módszere, aminek egy másik irányú továbbfejlesztéséből alakították ki a Boole-értékű analízist. Cohen-forszolás A legegyszerűbb nem triviális forszoló poset a , ami a véges parciális függvények halmazát jelöli -ból a visszafelé beágyazás alatt. Így egy állapothoz két véges részhalmaz tartozik -ban, a és a , amelyekre gondolhatunk úgy, mint az igen és a nem részekre. Nem nyújtanak információt a -n kívüli értékekre. A erősebb, mint állítás azt jelenti, hogy , más szavakkal, igen és nem halmazai tartalmazzák megfelelő részhalmazát, így több információt nyújtanak.
Legyen generikus szűrő ehhez a posethez! Ekkor, ha és eleme -nek, akkor állapot, mivel szűrő. Ez azt jelenti, hogy jóldefiniált parciális függvény -ból -be, mivel -ben bármely két állapot megegyezik közös tartományukon.
Valójában totális függvény. Adott elemre legyen . Ekkor sűrű, ugyanis bármely adott esetén, ha nincs benne tartományában, akkor egyesítünk egy értéket -nel, az eredmény -beli. Egy állapot tartománya tartalmazza -et, és mivel , azért definiálva van.
Legyen , az általános állapotok igen halmaza; ekkor közvetlenül el lehet nevezni -et. Legyen . Ekkor . Most tegyük fel, hogy -ben. Most azt állítjuk, hogy . Legyen . Ekkor sűrű; ez az előző bekezdésben leírtak szerint látható be. Ekkor bármely tanú arra, hogy . Összegezve, egy új részhalmaza -nak, és szükségképpen végtelen.
Helyettesítsünk -ba -t! Ezzel a véges parciális függvények közül vesszük azokat, amelyek az párokon vannak értelmezve, ahol és ; értékük pedig vagy . Ezzel új részhalmaz adódik -ban. Mindegyikük különböző a sűrűségi érv miatt: Adott esetén legyen , ekkor a fenti érveléshez hasonlóan sűrű, és egy általános állapot biztosítja, hogy az -adik és a -adik új halmaz különböző.
Ez önmagában viszont még nem cáfolja a kontinuumhipotézist. Először azt kell belátni, hogy nem keletkeztek új leképezések, amelyek teljes -t -re képezik, vagy teljes -et -re. Például, ha helyett az első nem megszámlálható rendszámot vesszük, akkor -ben bijekciót kapunk és között. Más szóval, suvasztottuk -et, és a forszoló kiterjesztésben már megszámlálható rendszám.
A kontinuumhipotézis függetlenségének megmutatásához vezető utolsó lépés annak megmutatása, hogy Cohen-forszolással nem lehet suvasztani kardinális számokat. Ehhez elégséges az a kombinatorikai tulajdonság, hogy ennek a posetnek az összes antilánca megszámlálható.
A megszámlálható lánc feltétele A egy antilánca egy olyan részhalmaz, aminek elemeire teljesül, hogy valahányszor , mindannyiszor , vagyis nem kompatibilisek. Azaz nincs a halmazban, hogy és . Borel-halmazokon ez azt jelenti, hogy mértéke nulla. A véges parciális függvények körében nem függvény, azaz van legalább egy elem, amihez különböző értéket rendelnek.
megfelel a megszámlálható lánc feltételnek, ha minden -beli antilánc megszámlálható. Ez az elnevezés régebbi terminológiára vezethető vissza.
Könnyen belátható, hogy megfelel a megszámlálható lánc feltételnek, mivel a mértékek összege legfeljebb . Továbbá is teljesíti a feltételt, de ezt már bonyolultabb belátni.
Adott megszámlálható részcsalád esetén zsugorítsuk -t a n elemet tartalmazó halmazok megszámlálhatatlan részcsaládjára. Ezt ismételjük addig, amíg nem jutunk egy véges halmazhoz és egy megszámlálhatatlan halmazcsaládhoz, továbbá kompatibilis állapothoz, hogy minden eleme -nek legfeljebb esetén. Most válasszunk tetszőleges elemet, és válasszunk hozzá elemet, amelynek értelmezési tartomány diszjunkt p-től. Ekkor és összehasonlíthatók, tehát nem antilánc. Más szóval, csak megszámlálható sok -antilánc van.
A forszolásban az antiláncok több szempontból is fontosak, mivel többnyire a sűrű halmazok és a maximális antiláncok ekvivalensek. Egy antilánc maximális akkor, ha nem bővíthető nagyobb antilánccá. Ez azt jelenti, hogy minden elem kompatibilis valamelyik elemével. A maximális antilánc létezése következik a Zorn-lemmából. Adott antilánc esetén legyen . Ekkor sűrű, és akkor és csak akkor, ha . Megfordítva, ha sűrű, akkor a Zorn-lemma miatt van antilánc, így akkor és csak akkor, ha .
Tegyük fel, hogy megfelel a megszámlálható lánc feltételnek. Adott esetén, ha függvvény -ben, akkor approximáljuk -et -ben a következőképpen: Legyen egy név az számára, és legyen állapot, ami forszolja, hogy függvény legyen -ből -ba. Legyen az -en értelmezett függvény olyan, hogy . A forszolás definíciója miatt ez egész -n értelmes. A forszolás definíciója miatt a különböző -k nem kompatibilis -kből származnak. A megszámlálható lánc feltétele miatt megszámlálható.
Összegezve, nem ismert -ben, mivel -től függ, azonban nem ismeretlen a megszámlálható lánc feltétel forszolás számára. Azonosíthatunk egy megszámlálható halmazt -hez, ami segít ismerete nélkül is meghatározni értékét, -től függetlenül.