thumb|200px|Az implikáció csak akkor hamis, hogyha A igaz, és B hamis. Ez a tartomány a Venn-diagramon fehér.Klasszikusan 40px|A → B 40px|¬A 40px|B
Az implikáció, kondicionális vagy szubjunkció logikai művelet, használjuk a matematikai logikában, informatikában. Két állítást kapcsol össze, és jelentése a ha, akkor nyelvi kifejezéshez áll közel. Példa: Ha esik az eső, akkor az út vizes. Az implikáció a logikában nem fordítható meg, visszafelé a következtetés nem érvényes. Így például nem lehet arra következtetni az előző állításból, hogy ha vizes az utca, akkor esik az eső. A nyelvben a Ha, akkor szavakkal összekapcsolt mondatoknak gyakran más logikai művelet felel meg, ahol a következtetés visszafelé is érvényes: az ekvivalencia, más néven bikondicionális. A két művelet közötti különbségről hosszabban a bikondicionális cikkünkben írunk.
Különbséget kell tenni a logikai és a metanyelvi implikáció között. A metanyelvi implikáció két állításról tesz kijelentést, Például: Az „Esik az eső.” állítás implikálja a „Vizes az utca.” állítást. A kettő közötti kapcsolat az, hogy az egyik akkor és csak akkor igaz, hogyha a másik is. Az implikáció feltétlenül nem jelent oksági kapcsolatot, anélkül is fennállhat.
Félreértésekhez vezet, hogy a hamis előtag implikál bármilyen utótagot. Így például a „Ha , akkor az ember halhatatlan.” mondat igaz, de mindkét tagja hamis. Az implikáció igaz voltából nem lehet következtetni az utótag igaz voltára. Ez a materiális implikáció paradoxona.
Jelölése Az implikációt jelölheti → nyíl, kettős nyíl, vagy patkó. Lengyelformában C a jele. Ha a nyíl, illetve patkó iránya fordított, akkor az utótag implikálja az előtagot. Gottlob Frege a klasszikus logika első formalizációjával az implikációt Fájl:Begriffsschrift Cab.svg jellel fejezte ki fogalomírásában. Igazságtáblája Ha p és q ítéletek, melyek lehetséges értékei 0 (hamis) vagy 1 (igaz), akkor az implikáció műveletét, melynek jele a →, a következő művelettábla szerint értelmezzük: p q p→q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
ahol 1 az igaz, 0 a hamis jele. Már Megarai Philon is így értelmezte a műveletet.
A fentiek szerint hamis állításból következhet hamis, hamisból következhet igaz (reductio ad absurdum módszere), igazból nem következhet hamis, igazból következhet igaz állítás. Ez tulajdonképpen a „Ha…, akkor…” kijelentésnek felel meg. Példa: Ha húsz fok van odakint, akkor nem veszek kabátot.
Tulajdonságai Az implikáció: disztributív önmagára: tranzitív: reflexív: Teljesül a totalitás is: igazőrző, azaz abban az interpretációban, ahol az operandusok mindegyike igaz, az implikáció is igaz az előfeltételek felcserélhetősége:
A formula ekvivalens -val, és a De Morgan-szabály alapján -val (inferencia). A minimális logikában azonban az implikáció csak logikailag következik a képletből. Az intuicionista logikában az implikációból következik .
Jegyezzük meg, hogy logikailag ekvivalens -vel. Ezt curryzésnek nevezik, emiatt kényelmes jobbra zárójelező írásmódot bevezetni az implikációra: azt jelenti, hogy .
Az implikáció kifejezhető úgy is, mint . A tagadás megfelel -nek. A dialogikus logikában A dialogikus logikában az implikációt a következő szabályok definiálják: Implikáció Támadás Védekezés
A dialogikus logikában a támadó kétségbe vonja az előtagot. Ekkor a védőnek először az előtagot, majd az utótagot kell bizonyítania. Például ha az állítja: Ha a benzinárak nőnek, akkor csökken az autóforgalom, akkor a támadó kétségbe vonhatja, hogy a benzinárak tényleg nőnek, azért ezt kell először bizonyítania. Keretrendszertől függ, hogy az implikációs kapcsolatot, vagy az utótagot az előtagtól függetlenül kell-e igazolnia. Formális összekötőként Formális összekötőként a következő szabályok alkalmazhatók rá: modus ponens kondicionális bizonyítás klasszikus kontrapozíció klasszikus reductio ad absurdum
A logikai összekötőként való megközelítés lehetővé teszi a szerkezetileg azonos propozíciós formák vizsgálatát különböző logikai rendszerekben, melyekben különböző tulajdonságok mutathatók ki. Például az intuicionista logika nem fogadja el a kontrapozíciót, így nem propozíciós tétel, viszont az implikációval definiálja a tagadást. A formális logikában A formális logikában megkülönböztetik a szemantikus következmény relációtól. Azt mondjuk, hogy , hogyha minden interpretációban, ahol A igaz, B is igaz. Azonban a legtöbb logika, köztük a klasszikus logika szerint a kettő kapcsolatban áll egymással: Ha , akkor valamely esetén. Szavakkal, ha Γ modellezi ψ-t, akkor ψ levezethető a Γ állításainak egy részéből. Ugyanez teljesül megfordítva is. Mindkét reláció monoton, azaz, ha , akkor , és ha , akkor valamely α, Δ esetén. Erre gyakran gyengítésként hivatkoznak.
Mindezek a kapcsolatok nem állnak fenn minden logikában, így például a nem monoton logikákban, illetve a relevancialogikákban. A természetes nyelvben A természetes nyelvben: Nem lehet az, hogy ha P igaz, akkor Q nem igaz. Nincs P Q nélkül. Ahol a következmény hiányáról van szó.
Források Rüdiger Inhetveen: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2003, . Wilhelm Kamlah, Paul Lorenzen: Logische Propädeutik. Vorschule des vernünftigen Redens. Metzler, Stuttgart 1996, . Kuno Lorenz, Paul Lorenzen: Dialogische Logik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, . Paul Lorenzen: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie. Metzler, Stuttgart 2000, . Jegyzetek
Fordítás
Kategória:Logika