A matematikában a Nesbitt-egyenlőtlenség a Shapiro-egyenlőtlenség egy speciális esete. Tegyük fel, hogy a, b és c pozitív valós számok. Ekkor:
Bizonyítás
Első bizonyítás
Kezdjük a Nesbitt-egyenlőtlenséggel (1903)
átalakítjuk a bal oldalát:
Átalakítva:
Majd pedig:
Most a bal oldalon van a számtani közép és jobbra a harmonikus közép, tehát ez az egyenlőtlenség igaz, hiszen a számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség igaz 3 pozitív szám esetén.
Második bizonyítás
Tegyük fel, hogy . Ekkor viszont:
Felhasználva a rendezési egyenlőtlenséget tudjuk, hogy:
A kettőt összeadva kapjuk, hogy :
Ha ezt osztjuk 2-vel, akkor megkapjuk a kívánt állítást.
Harmadik bizonyítás Legyen . Mivel az függvény konvex a szakaszon, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint: , ami 3-mal átszorozva a bizonyítandó egyenlőtlenséget adja: .
Általánosítások (mindhárom bizonyítás módszerével azonnal megkapjuk ennek az általánosításnak a bizonyítását is.) Shapiro-egyenlőtlenség Titu-lemma súlyozott változat
Kategória:Egyenlőtlenségek Kategória:Középértékek