A vektor a matematikában használatos fogalom, a lineáris algebra egyik alapvető jelentőségű mennyisége. Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb. A fogalom különböző irányú általánosításai egyes tudományágakban is megjelennek. Így például a biológiában vektornak nevezik a fertőzéseket terjesztő élőlényeket, hatásokat. Az analógia teljesen világos, a hordozótól a fertőzöttig vezető utat pont a köztesgazda jelenti, azaz két pontot egy meghatározott irányban köt össze.
A matematikában azonban sokkal elvontabb vektorokat is ismerünk. Ezek haszna sokszor a laikusok számára végképp nem nyilvánvaló, és ritkán ismertek, közismertek. Alkalmazásaik azonban széles körűek, különösen a modern tudományokban.
Általános leírás
A vektor a matematikában egy felettébb fontos fogalom. Alkalmazásai rendkívül sokrétűek, a geometriától az absztrakt analízisig mindenhol lehet velük találkozni. Ennek megfelelően az értelmezése is többféleképpen történhet.
Maguk a vektorok a számok egyfajta általánosításainak is tekinthetőek. Ezzel a megközelítéssel főleg az algebrai definíciók dolgoznak, és ekkor legjellemzőbb alkalmazásaik az egyenletrendszerek kezelése.
Mivel a fogalom eredete a fizika, ezért fizikai és geometriai meggondolások is szolgálhatnak alapjául, ekkor főleg a viselkedésük lesz a definíció alapja. A legközkeletűbb értelmezése a fogalomnak is geometriai: olyan szakasz, amit a nagyságán túl az iránya is jellemez. Ez szinte tipizálja a fogalmat, hiszen így olyan mennyiségeket, mint a sebesség vagy az erő, kényelmesen szemléletessé tudunk tenni.Ez ugyanakkor a fogalom elmélyítését már jelentősen megnehezítheti!
A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az analízisben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.
Definíció
Lineáris algebra
Legyen euklideszi geometriai tér. Ekkor a halmaz elemeit, mint rendezett párokat irányított szakasznak nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.
Két pontpárt, -t és -t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan párhuzamos eltolás, hogy és .
Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait szabadvektoroknak, a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor reprezentánsainak nevezzük.
Geometria
A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis és két párhuzamos sík. Ha a távolságuk , akkor a tér bármely pontjához olyan módon rendel hozzá egy pontot, hogy . Ezen túl az és pontok képe olyan, hogy és egyező irányításúak. Ezt a leképezést eltolásnak nevezzük.
Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint.Konkrétan megadható a pár alapján bármely pont képének a szerkesztése. Az párt ekkor vektornak nevezzük. Eszerint egyébként a konkrét síkokra nincs is szükség, kizárólag a távolságuk és fekvésük lényeges.
A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján szabadvektornak nevezünk. Ha rögzítünk egy pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja , kötött vektoroknak nevezzük. Ezek például egy koordináta-rendszer pontjait határozhatják meg.
Analízis
Legyen test,Fontos feltétel, hogy test legyen, ellenkező esetben a feltételeink "elromlanak". pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt: , amit általában összeadásnak nevezünk, és , amit leggyakrabban skalárral való szorzás néven emlegetünk, úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint és esetén
teljesül, akkor -t a test feletti vektortérnek nevezzük, elemeit pedig vektoroknak.
Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a -ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a függvények halmaza.
Vektorműveletek
thumbnail|200px|jobbra|Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető
A vektorműveletek értelmezése céljából érdemes a szemléletes és áttekinthető geometriai képből kiindulni. Ekkor a vektorokat irányított szakaszként, nyíllal ábrázoljuk, és így a jelentésük is a köznapi fogalmakkal megragadhatóvá válik. Ezeken keresztül néhány egyéb fogalom is világossá válik.
Összeadás
Miután a szabadvektorokat a reprezentánsaikkal is jellemezhetjük, két szabadvektor összegét is így tudjuk értelmezni. Az és vektorok összegzését egy köztes pont felvételével tudjuk meghatározni. Vegyünk fel egy pontot, és tekintsük az vektor azon reprezentánsát, aminek végpontja , és a vektor azon reprezentánsát, aminek kezdőpontja . Ekkor a vektor egy reprezentánsát az vektor kezdőpontja és a végpontja jelöli ki. Ezt paralelogramma-szabálynak nevezzük. Az elnevezés a mellékelt ábra alapján válik érthetővé.
Szemléletesen, ha a vektorokat elmozdulásnak tekintjük, az vektor az pontból pontba jutást jelenti. Hasonlóan a vektor is értelmezhető, ekkor pedig az összegvektoruk az -ból -be jutást jelenti, azaz .
E definíció alapján ellenőrizhető, hogy a definícióban megkövetelt feltételek az összeadásra hogyan teljesülnek.
Szorzatok
A vektorokból a szorzásra emlékeztető művelet többféle is definiálható. Ebből egy külső, három pedig belső művelet.Belső művelet alatt azt értjük, hogy a szorzat tényezői mind a vektortérből erednek.
Skalárral szorzás
A skalárral való szorzásVigyázzunk, ne keverjük a később értelmezett skaláris szorzással! ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered: , ha . Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a vektor -val párhuzamos, és annál -szor hosszabb bármilyen -beli elem esetén.
Mivel elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.
Lineáris kombináció
A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott , és , valamint , és skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:
Általános alakban írva a lineáris kombináció:
Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani
alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.
Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.
Skaláris szorzat
Egyes fizikai összefüggések vektormennyiségekből skaláris értékek létrehozását igénylik. Ilyen például a munka kiszámításának a problémája. A definíció is őrzi a fizikai eredetet: a két vektor szorzata legyen maximális, ha párhuzamosak, és nulla, ha merőlegesek, továbbá a szorzat legyen lineáris függvénye a két vektor hosszának.
Az első feltétel szerint a szorzat a két vektor által bezárt szögtől függ. A legegyszerűbb függvény, ami ezt a feltételt kielégíti, a koszinusz függvény. A második feltétellel együtt a szorzat kiszámítására a
képlet szolgál, ahol az vektor hossza.
Könnyen belátható, hogy a skaláris szorzat kommutatív és a vektorok összeadására nézve disztributív, de nem asszociatív művelet.
A skaláris szorzat adott bázis esetén könnyebben is kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a bázis vektorai egymásra merőlegesek, ez mindig elérhető a Gram–Schmidt-eljárás segítségével például. Ekkor az és vektorok a bázis lineáris kombinációjaként felírva:
lesznek. A szorzáskor figyelembe véve a skaláris szorzat disztributivitását és az egységvektorok merőlegességét kapjuk: .
Például számoljuk ki a és vektorok skaláris szorzatát: .
Nem merőleges bázisvektorok esetén a skaláris szorzat vegyes tagokat is fog tartalmazni, valamint egy, a bázist jellemző operátort.
Ha egy vektort önmagával szorzunk, akkor a definíció értelmében a hosszának a négyzetét kapjuk. Ezt a koszinusztétel bizonyítása során is kihasználjuk.
A matematikában a vektor fogalmának általánosítása okán a skaláris szorzatot belső szorzat néven szokás emlegetni.
Vektoriális szorzat
A vektoriális szorzat egy kizárólag három és héthttps://betterexplained.com/articles/cross-product/ dimenzióban értelmezhető belső szorzat. Eredete a skaláris szorzathoz hasonlóan fizikai: elsősorban a forgatónyomaték kezelésében bukkan fel, de később több más területen is kényelmesnek bizonyult a használata. A definíciója is ennek megfelelően elsősorban technikai jellegű. Legyen és két vektor. Ekkor hozzájuk rendelhető egy harmadik vektor a következő szabályok szerint: , ha ; maximális, ha a vektorok merőlegesek egymásra; a szorzat egyenesen arányos a és hosszával. a három vektor úgy helyezkedik el egymáshoz képest, mint a koordináta-rendszer x, y és z tengelyei.
Az első két feltételt a vektorok által bezárt szög szinusza is kielégíti, így a harmadik feltétellel együtt a skaláris szorzathoz hasonlóan a
képletet írhatjuk fel. Ebben nincsen benne a szorzatvektor iránya, úgyhogy azt továbbra is külön fel kell írnunk.
A vektoriális szorzat nem asszociatív, de ez nem meglepő. Még kevésbé meglepő, hogy nem kommutatív, viszont antikommutatív, azaz . A vektorok összeadására nézve disztributív.
A tér merőleges bázisvektorai esetén érvényes összefüggések:
, ezeket a koordinátás alak kiszámításakor használjuk ki.
A fenti tulajdonságok alapján levezethető a vektorok szorzatára vonatkozó számítási módszer: Ha , akkor
.
Például az és vektorok vektoriális szorzata:
. Skaláris szorzással ellenőrizhet, hogy e vektor mindkettő tényezőre merőleges.
Tenzori (diadikus) szorzat
Az n-dimenziós valós vektortér és vektorainak diadikus szorzatán értjük és -vel jelöljük azt a tenzort, mely a vektortérbe tartozó minden egyes vektorhoz az vektort rendeli: . Belátható, hogy egy lineáris leképezés, ezért valamely bázis esetén reprezentálható egy mátrixszal.
A definíciót valamely koordináta-rendszerben kifejtve a tenzorszorzat egy reprezentációját kapjuk: .Ha jól megnézzük, feltűnő lesz, hogy a tenzor nyoma a két vektor skaláris szorzata. Három dimenzióban a főátló feletti és alatti elemek pedig a vektoriális szorzat tagjai lesznek.
Példaként szorozzuk össze az és a vektorokat!
A szorzat tehát: .
Tulajdonságai: nem kommutatív: ha , akkor ( transzponáltja). nem asszociatív: nem értelmezhető. a definíció miatt. A vektorok tenzorszorzatával a tenzoralgebra foglalkozik alaposabban.
Alkalmazások
A vektoroknak számtalan alkalmazása van. Ezek főleg a matematikához, fizikához és informatikához kötődnek. Legtöbbször egyfajta általánosítása a hagyományos vektorfogalomnak az egyes tudományágak saját fogalomalkotása, de az analógia legtöbbször nyilvánvaló.
A matematikában
Jellemzően a lineáris algebrában fordulnak elő vektorok, illetve ehhez kapcsolódóan az analitikus geometriában.
A lineáris algebra az egyenletrendszereket lineáris egyenletekhez hasonló módon kezelő eszközöket kap, ha az ismeretleneket és az egyenletek jobb oldalát egy-egy vektorként kezeljük, ekkor az együtthatók ugyanis egy leképezés mátrixának alakját fogja ölteni. Például
Egyenletrendszer Egyenlet