A prímszámtétel a prímszámok eloszlását írja le.
A tétel
Ha x pozitív, jelölje az x-ig terjedő prímszámok számát. A prímszámtétel azt állítja, hogy
Szokásos jelöléssel
ahol ln(x) a természetes logaritmust jelöli. A jelölés azt jelenti, hogy a két oldal hányadosa 1-hez tart, ha x végtelenhez tart (aszimptotikusan egyenlőek).
Jobb közelítések - nagy x-ekre :
Még jobb közelítés adható a Li(x) függvénnyel.
ha x → ∞ (lásd O jelölés). Itt Li(x) a
integrállogaritmus függvény.
A prímszámtételt abban az ekvivalens formában is kimondhatjuk, hogy az n-edik prím aszimptotikusan Benjamin. Fine, Gerhard. Rosenberger: Number theory: an introduction via the distribution of primes Springer, 2007, p.136
( Nagy n-ekre jóval pontosabb közelítés : n ( ln(n) + ln(ln(n)) - 1 ) ).
A tételt Legendre és Gauss sejtette meg. Csebisev bebizonyította, hogy nagy x-re
de csak sokkal később, komplex függvénytani módszerekkel igazolta a prímszámtételt Hadamard és de La Vallée Poussin 1896-ban. A prímszámok eloszlása fontos kapcsolatban van a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek eloszlásával. Hadamard és de la Vallée-Poussin úgy vezette le a prímszámtételt, hogy megmutatták, hogy a zeta-függvénynek nincs 1 valós részű gyöke. Később kiderült, hogy a két állítás ekvivalens, ezért fontos kérdéssé vált az, hogy van-e elemi bizonyítás a prímszámtételre. Ilyet végül Erdős Pál és Atle Selberg adott 1949-ben, részben együttműködve, részben függetlenül. Az elemi szó ebben az összefüggésben azt jelenti, hogy nem használ komplex függvénytani eszközöket, csak elemi analízisbeli becsléseket, ezek a bizonyítások rendkívül fáradságosak és nagyon gyenge hibatagot adnak.
Általában igaz, hogy minél nagyobb tartományból sikerül kizárni a zeta-függvény gyökeit, annál jobb hibatagot kapunk, ezért nagy jelentőségű a zeta-függvény gyökeire vonatkozó Riemann-sejtés.
A Dirichlet-tétel általánosításaként belátható, hogy minden -re a prímszámok egyenletesen oszlanak el a mod q redukált maradékosztályokban, azaz, ha jelöli az x-nél nem nagyobb prímek számát, amelyek q-val osztva a maradékot adnak, akkor
A Siegel–Walfisz-tétel szerint, ha , és egy valamilyen N konstansra, akkor
ahol az O-beli konstans N-től függ.
Táblázat π(x), x / ln x és li(x) értékeire
{| class="wikitable" style="text-align: right" ! x ! π(x) ! π(x) − x / ln x ! π(x) / (x / ln x) ! li(x) − π(x) ! x / π(x) |- | 10 | 4 | −0.3 | 0.921 | 2.2 | 2.500 |- | 102 | 25 | 3.3 | 1.151 | 5.1 | 4.000 |- | 103 | 168 | 23 | 1.161 | 10 | 5.952 |- | 104 | 1,229 | 143 | 1.132 | 17 | 8.137 |- | 105 | 9,592 | 906 | 1.104 | 38 | 10.425 |- | 106 | 78,498 | 6,116 | 1.084 | 130 | 12.740 |- | 107 | 664,579 | 44,158 | 1.071 | 339 | 15.047 |- | 108 | 5,761,455 | 332,774 | 1.061 | 754 | 17.357 |- | 109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1.054 | 1,701 | 19.667 |- | 1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 1.048 | 3,104 | 21.975 |- | 1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 1.043 | 11,588 | 24.283 |- | 1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 1.039 | 38,263 | 26.590 |- | 1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 1.034 | 108,971 | 28.896 |- | 1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 1.033 | 314,890 | 31.202 |- | 1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1.031 | 1,052,619 | 33.507 |- | 1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,393 | 1.029 | 3,214,632 | 35.812 |- | 1017 | 2,623,557,157,654,233 | 68,883,734,693,281 | 1.027 | 7,956,589 | 38.116 |- | 1018 | 24,739,954,287,740,860 | 612,483,070,893,536 | 1.025 | 21,949,555 | 40.420 |- | 1019 | 234,057,667,276,344,607 | 5,481,624,169,369,960 | 1.024 | 99,877,775 | 42.725 |- | 1020 | 2,220,819,602,560,918,840 | 49,347,193,044,659,701 | 1.023 | 222,744,644 | 45.028 |- | 1021 | 21,127,269,486,018,731,928 | 446,579,871,578,168,707 | 1.022 | 597,394,254 | 47.332 |- | 1022 | 201,467,286,689,315,906,290 | 4,060,704,006,019,620,994 | 1.021 | 1,932,355,208 | 49.636 |- | 1023 | 1,925,320,391,606,803,968,923 | 37,083,513,766,578,631,309 | 1.020 | 7,250,186,216 | 51.939 |- | 1024 | 18,435,599,767,349,200,867,866 | 339,996,354,713,708,049,069 | 1.019 | 17,146,907,277 | 54.243
Források
Kategória:Analitikus számelmélet Kategória:Matematikai tételek Kategória:Analitikus számelméleti tételek
pl:Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych