Az
közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek nevezzük. Az egyenletet Jacopo Riccati (1676–1754) velencei jogászról és matematikusról nevezték el.
Speciális esetek Ha , akkor lineáris. Ha , akkor Bernoulli-féle differenciálegyenletet kapunk.
Megoldása Az általános Riccati-féle differenciálegyenlet általában integrálással nem oldható meg, de ha ismeretes az (1) egyenlet egyetlen
partikuláris megoldása, akkor az
új ismeretlen függvény bevezetésével már az általános megoldás is előállítható. Mi csak ezzel az esettel foglalkozunk.
Legyen az (1) egyenlet egy partikuláris megoldása , ekkor fennáll az
azonosság. Vonjuk ki (1)-ből (2) megfelelő oldalát:
,
és vezessük be az
új ismeretlen függvényt, akkor a
alak áll elő. Rendezve
egyenletre jutunk, amely az új z(x) függvényre Bernoulli-féle differenciálegyenlet. Ennek megoldását az előző pontban ismertetett módon kapjuk, az
új ismeretlen függvény bevezetésével ugyanis lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható.
Források A Riccati-féle egyenlet A Riccati-féle egyenlet A Riccati-féle egyenlet
Kategória:Differenciálegyenletek