Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és y-ra. Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van értelmezve. Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.
Tulajdonságok
A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.
A következők ekvivalensek: f : A → B konstans minden g, h függvényre g, h : C → A, f o g = f o h'', (a kategóriaelméletben így definiálják) bármely függvénnyel komponáljuk -et, mindig konstans függvényt kapunk.
Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény. Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.
A konstans függvények részbenrendezett halmazokon egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.
Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. Összefüggő halmazon minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon konstans. Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor idempotens.
Értelmezhető a valós számok halmazán. Értékkészlete y=b (b a hozzárendelés értéke). Itt metszi az y tengelyt avagy melyik számot rendelhetem hozzá az y tengelyhez. Amennyiben , úgy zérushelye nincsen. Hogyha a hozzárendelés értéke 0, [ f(x)=0 ], a zérushely x∈R. Tengelypontja megegyezik az értékkészlet egyetlen elemével. Monoton nő és monoton csökken. De nem szigorúan!
Korlátos, minimumának és maximumának is a helye x∈R és értéke y=b. Amennyiben a hozzárendelés értéke nulla, y∈R
További összefüggések, általánosítás
A komplex függvénytan Liouville tétele szerint korlátos egészfüggvény konstans. Következmény: pólushely nélküli elliptikus függvény konstans.
A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.
Tartalmazzon az halmaz egynél több elemet. Az topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans függvény konstans. Ha az topologikus tér összefüggő, és a topologikus tér diszkrét, akkor a folytonos függvény konstans.
Bizonyítás: A tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az térben. Az tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans.
Források Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973) Thomas-féle kalkulus I., II., III. Halász Gábor: Komplex függvénytan
konstans függvények a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések
Kategória:Függvények