A kettősviszony egy egyenes (pontsor) négy pontjára, illetve egy sugársor négy elemének kölcsönös elhelyezkedésére jellemző viszonyszám. A projektív geometria fontos alapfogalma: centrális vetítéskor a távolságok és a szögek változnak, a kettősviszony megmarad (invariáns). Ezt Papposz egyik fontos tétele biztosítja.
Értelmezése
Az pontnégyes kettősviszonya az és egyszerű- vagy osztóviszonyok hányadosa (viszonya):
(
A három pont viszonylagos helyzetét jellemző osztóviszonyt szakaszok hányadosa definiálja:
, .
A pontnégyes és a sugárnégyes kettősviszonya:
Kép:Kettősviszony-1.gif ,
Kép:Kettősviszony-2.gif .
A formulákban szereplő szakaszok és szögek irányítottak, előjelesek. Kép:Kettősviszony-3.gif
Néhány példa az osztóviszonyra:
(felezőpont),
(harmadoló pont, A-hoz közelebbi),
(harmadoló pont, B-hez közelebbi),
Néhány példa a kettősviszonyra:
.
Harmonikus négyes Kép:Harmonikus négyes.gif
Különös fontosságú az olyan pontnégyes, amelynek kettősviszonya . Ez csak úgy lehet, hogy X és Y közül az egyik pont az AB szakaszon, másik azon kívül helyezkedik el, s az osztóviszonyokra pedig teljesül:
Papposz tétele
balra
Ha az egy pontra illeszkedö egyenesek egy, a közös pontjukra nem illeszkedő egyenest rendre az pontokban metszenek, akkor
A tétel egyszerű következménye, hogy ha két egyenest metsz a sugársor, akkor az egyik egyenesen a metszéspontok kettősviszonya a másik egyeneseken keletkező vetületüknek a kettősviszonyával egyezik:
Hasonló összefüggés igazolható a közös egyenesre illeszkedő sugársorok négyeseire: .
Irodalom Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
Kategória:Projektív geometria