Más néven mértéktenzor. A matematikában a metrikus tenzort metrikus tereken értelmezzük, és a távolságok meghatározását teszi lehetővé. A fizikában az általános relativitáselméletben fordul elő, mint a téridő szerkezetét leíró mennyiség. Ezért a metrikus tenzor meghatározza a gravitációs kölcsönhatást is.
Definíciója Legyen A affin tér a valós V eltolásvektortérrel! Ekkor g metrikus tenzor A fölött, ha A-t a V fölötti skalárszorzatok terébe képezi, azaz minden pontra
szimmetrikus, pozitív definit bilineáris forma.
A metrika és a pszeudometrika analógiájára néha megengedik, hogy egyes pontokban, vagy mindenütt pozitív szemidefinit legyen. Ezzel pszeudometrikus tenzorokhoz jutnak.
Vagyis a pozitív definitség követelménye:
minden -re
helyett megelégszenek a pozitív szemidefinitség követelményével:
minden -re
A metrikus tenzor egy ponttól függő távolságot definiál a V vektorok terén:
Az euklideszi skalárszorzathoz hasonlóan a vektorok szöge a pontban:
Tulajdonságai
másodrendű szimmetrikus tenzor determinánsa különböző nullától (tehát nem szinguláris) kovariáns deriváltja nulla
Az invariáns távolságnégyzet kiszámítása:
Ábrázolása koordinátákkal Koordináta-rendszert választva a V vektortérben, és a koordinátavektorokat rendre -vel jelölve a g metrikus tenzor felírható a alakban. Az Einstein-féle összegzési konvenció szerint ekkor az és az vektorokra .
A kategóriaelmélet fogalmai szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kovariáns, mivel az injektív affin lineáris leképezések a (B,W) fölötti metrikus tenzorokat természetes módon (A,V) fölötti metrikus tenzorokba viszik:
.
A fizikai alkalmazások szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kontravariáns, mert koordinátái a koordináta-rendszer transzformációjakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a bázis.
Ha a koordináta-rendszer transzformációját a
illetve
képletek írják le, akkor a bázisvektorok így transzformálódnak:
és a metrikus tenzor transzformációja:
Görbék hossza Ha differenciálható görbe az A affin térben, akkor minden t pontban van érintője:
.
A görbe, vagy görbeszegmens hossza a metrikus tenzorral számítható:
A kifejezést ívelemnégyzetnek nevezzük.
A láncszabály szerint
,
ahol ds a fenti, ívhossz kiszámítását célzó integrált jelenti.
Indukált metrikus tenzor Legyen A Riemann-sokaság, adva legyen benne a metrika, és adva legyen egy részsokaság a () paraméterekkel! Tekintsük ebben a részsokaságban a görbét!
Ekkor e görbe ívhossza:
ahol
indukált mértéktenzor.
Ezzel számolva az ívhossz:
.
Példák
- a gömbfelszín metrikus tenzora:
- a Minkowski-téridő metrikus tenzora:
- a gömbszimmetrikus (Schwarzschild) téridő metrikus tenzora, ahol a Schwarzschild-sugár:
Irodalomjegyzék
Hraskó Péter: Relativitáselmélet, Typotex Kiadó 2002, , hibajegyzék Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet, Akadémiai Kiadó 2006, Novobátzky Károly: A relativitás elmélete, Tankönyvkiadó 1963 Landau - Lifsic: Elméleti Fizika II. Tankönyvkiadó 1976 Fließbach, Torsten: Allgemeine Relativitätstheorie, Elsevier GmbH kiadó München 2006, Oloff, Rainer: Geometrie der Raumzeit, Friedr. Vieweg & Sohn kiadó Wiesbaden 2008,
Fordítás
Kategória:Általános relativitáselmélet Kategória:Relativitáselmélet